SciPy--数值计算库（一）

1. 最小二乘法拟合

假设有一组实验数据(x[i], y[i])，我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k*x+b，那么参数k和b就是我们需要确定的值。如果将这些参数用 p 表示的话，那么我们就是要找到一组 p 值使得如下公式中的S函数最小：

S (P) = \sum_{i = 1}^{m} [y_{i} - f (x_{i}, P)]^{2}

$S(P) = \sum_{i=1}^m[y_i - f(x_i,P)]^2$
这种算法被称之为最小二乘拟合(Least-square fitting)。

scipy中的子函数库optimize已经提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是用leastsq进行数据拟合的一个例子,代码如下

# -*- coding: "utf-8 -*-
#coding=utf-8
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl
from pylab import mpl 
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 

def func(x, p):
    A, k, theta = p
    return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)

def residuals(p, y, x):
    return y - func(x, p)

x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)
A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据

p0 = [7, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数

# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))

print u"真实参数:", [A, k, theta]
print u"拟合参数", plsq[0] # 实验数据拟合后的参数

pl.plot(x, y0, label=u'真实数据')  #设置坐标轴
pl.plot(x, y1, label=u"带噪声的实验数据")
pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label=u"拟合数据")
pl.legend()
pl.show()

将程序拷贝到test.py文件中，运行此程序：
这里写图片描述

发现运行结果，图中的中文全部出现方框，无法正常显示汉字，在程序开头加上

from pylab import mpl 
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

即可解决图表中出现的汉字乱码问题，再次运行结果如下所示：
这里写图片描述

我们看到拟合参数虽然和真实参数完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合参数得到的函数和真实参数对应的函数是一致的。

2. 非线性方程组求解

optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程组进行求解。它的基本调用形式如下：

fsolve(func, x0)

func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。如果要对如下方程组进行求解的话：

f1(u1,u2,u3) = 0
f2(u1,u2,u3) = 0
f3(u1,u2,u3) = 0

那么func可以如下定义：

def func(x):
    u1,u2,u3 = x
    return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]

下面举例，求解如下方程的解：

5*x1 + 3 = 0
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0
x1*x2 - 1.5 = 0

程序如下：

# -*- coding: UTF-8 -*- 
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos

def f(x):
    x0 = float(x[0])
    x1 = float(x[1])
    x2 = float(x[2])
    return [
        5*x1+3,
        4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
        x1*x2 - 1.5
    ]   
result = fsolve(f, [1,1,1])
print result
print f(result)

将此程序拷贝到fslove.py文件中，运行结果如下：
这里写图片描述
由于fsolve函数在调用函数f时，传递的参数为数组，因此如果直接使用数组中的元素计算的话，计算速度将会有所降低，因此这里先用float函数将数组中的元素转换为Python中的标准浮点数，然后调用标准math库中的函数进行运算。

3. B-Spline样条曲线

interpolate库提供了许多对数据进行插值运算的函数。下面是使用直线和B-Spline对正弦波上的点进行插值的例子。

程序如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import interpolate
from pylab import mpl  #解决图中汉字乱码问题
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #使图表中负号正常输出

x = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 10)
y = np.sin(x)

x_new = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 100)
f_linear = interpolate.interp1d(x, y)
tck = interpolate.splrep(x, y)
y_bspline = interpolate.splev(x_new, tck)

pl.plot(x, y, "o", label=u"原始数据")  #设置坐标轴
pl.plot(x_new, f_linear(x_new), label=u"线性插值")
pl.plot(x_new, y_bspline, label=u"B-spline插值")
pl.legend()
pl.show()

在这段程序中，通过interp1d函数直接得到一个新的线性插值函数。而B-Spline插值运算需要先使用splrep函数计算出B-Spline曲线的参数，然后将参数传递给splev函数计算出各个取样点的插值结果。将此程序保存在inter.py文件中，运行结果如下：
这里写图片描述