题目描述
小B 所在的城市的道路构成了一个方形网格，它的西南角为(0,0)，东北角为(N,M)。
小B 家住在西南角，学校在东北角。现在有T 个路口进行施工，小B 不能通过这些路口。小B 喜欢走最短的路径到达目的地，因此他每天上学时都只会向东或北行走；而小B又喜欢走不同的路径，因此他问你按照他走最短路径的规则，他可以选择的不同的上学路线有多少条。由于答案可能很大，所以小B 只需要让你求出路径数mod P 的值。
输入输出格式
输入格式：
第一行为四个整数N、M、T、P。
接下来的T 行，每行两个整数，表示施工的路口的坐标。
输出格式：
一行一个整数，表示路径数mod P 的值。
此题涉及到的数论知识有很多：扩展欧几里得算法、卢卡斯定理（组合数）、中国剩余定理（合并）。
当没有施工点时，答案即C（n+m，m）。
当有施工点时，考虑到j点能影响到i点当且仅当x[i]>=x[j]且y[i]>=y[j]时。影响的路径条数为f[i]=f[i]-f[j]*C(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)，它的解释为：到j点的路径条数乘上j点到i点的路径条数。我们把所有符合条件的j都减去（思考一下这样为什么不会重复减去）。计算之前先sort一遍就可以了，对于取模，卢卡斯定理计算就好了。
但模数不是质数的情况，中国剩余定理合并即可。
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; long long mod,n,m,t,p,jie[1000009],ni[1000009],f[209],x,y,a1,a2,a3,a4,ans; struct fe { long long x,y; }a[209]; bool cmp(fe a,fe b) { return(a.x==b.x)?(a.y<b.y):(a.x<b.x); } long long lucas(long long n,long long m) { if(m>n)return 0; if(!m)return 1; if(n<mod)return jie[n]*ni[m]*ni[n-m]%mod; return lucas(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod; } void exgcd(long long a,long long b) { if(!b) { x=1; y=0; return; } exgcd(b,a%b); long long k=x; x=y; y=k-a/b*y; } long long work1() { memset(f,0,sizeof(f)); ni[0]=ni[1]=1; jie[1]=1; for(int i=2;i<=mod;++i) { jie[i]=(jie[i-1]*i)%mod; ni[i]=(mod-mod/i)*ni[mod%i]%mod; } for(int i=2;i<=mod;++i) ni[i]=ni[i]*ni[i-1]%mod; for(int i=1;i<=t;++i) { f[i]=lucas(a[i].x+a[i].y,a[i].x)%mod; for(int j=1;j<i;++j) if(a[i].x>=a[j].x&&a[i].y>=a[j].y)f[i]=(f[i]-f[j]*lucas(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)%mod+mod)%mod; } return f[t]; } long long bing(long long a,long long b,long long c) { x=0;y=0; exgcd(a,c); x=(x+c)%c; return x*a%p*b%p; } int main() { cin>>n>>m>>t>>p; for(int i=1;i<=t;++i)scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y); a[++t].x=n,a[t].y=m; sort(a+1,a+t+1,cmp); if(p==1000003) { mod=p; cout<<work1(); } else { mod=3;a1=work1(); mod=5;a2=work1(); mod=6793;a3=work1(); mod=10007;a4=work1(); ans=(ans+bing(p/3,a1,3))%p;//cout<<ans; ans=(ans+bing(p/5,a2,5))%p;//<<ans; ans=(ans+bing(p/6793,a3,6793))%p;//cout<<ans; ans=(ans+bing(p/10007,a4,10007))%p;//cout<<ans; cout<<ans; } return 0; }