HDU1395-2^x mod n = 1

思路：本来以为如果是偶数就？奇数就 5 = 2*2 + 1 所以就是 2的4次方。WA！例如， 2^x mod 7 = 1. 这样的答案是

7 = 2 * 3 + 1 是6吗？ 6的确对，但是要保证最小。所以思路错误。看了题解。了解到费马小定理，还是欧拉定理能够得到奇数必有解。

AC代码：（暴力求解）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
	int n;
	while(~scanf("%d", &n)) {
		if(n&1 && n != 1) {
			int res = 1, t = 2;
			while(t%n != 1) { //每次都取模
				t = t*2%n; //多一个2
				res++;
			}
			printf("2^%d mod %d = 1\n", res, n);
		} else {
			printf("2^? mod %d = 1\n", n);
		}
	}
}

思路：

1. 当n为偶数时，bn + 1（b为整数）是奇数，而2^x是偶数，故 2^x mod n = 1不可能成立；

2. 当n等于1时，不能成立

3. 当n为非1的奇数时，n和2互质，由欧拉定理：若a，n为正整数，且两者互素，则a^phi(n) mod n = 1，其中phi(n)是n的欧拉函数。知2^phi(n) mod n = 1.因此phi(n)必是符合要求的x，但phi(n)未必是最小的，遍历小于其的正整数，逐一试验即可，计算2^x mod n时用快速幂乘。

博客链接

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

int eular(int n) {//欧拉函数 
	int ans = n;
	for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
		if(n % i == 0) {
			ans -= ans / i;
			while(n % i == 0) {
				n /= i;
			}
		}
	}
	if(n > 1) ans -= ans / n;
	return ans;
}

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod) {//快速幂 
	ll res = 1;
	while(n > 0) {
		if(n&1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

int main() {
	int n; 
	while(~scanf("%d", &n)) {
		if(n&1 && n != 1) {
			int zhi = eular(n);
//			cout << zhi << endl;
			for(int i = 1; i <= zhi; i++) {
//				cout << mod_pow(2, i, n) << endl;
				if(mod_pow(2, i, n) == 1) {
					printf("2^%d mod %d = 1\n", i, n);
					break;
				}
			}
		} else {
			printf("2^? mod %d = 1\n", n);
		}
	}
}

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