回文自动机 学习笔记

  Manacher解决的问题：O（n）时间内求出字符串以每个点为中心时的最长回文长度

  1.对字符串的预处理

  一般为了避免无限制的匹配下去，会在开头和结尾加入未在原字符串中出现的‘#’

  一般为了方便判断，一般在原字符串的字符之间加入未在原字符串中出现的‘#’，

  新串由两部分组成,新加入的‘#’字符的个数就是len[原串]+1，原字符串为len[原串],所以

  这样新串的所有回文串的长度都变成了奇数，并且原回文的长度为(新串回文半径 - 1)

  2.定义len[]

  这里定义len[i]代表新串中的回文半径，len[i]-1就代表了原串中的回文长度，这样问题就转化为了求len[]

  3.如何在线性时间内求解len[]

  对len[]的计算按照从左往右一次进行，在计算len[i]时，len[j]（j∈[0,i-1]）都是已知的。

  这里维护一个MaxR，代表j+len[j]-1（j∈[0,i-1]）的最大值，即在[0,i-1]计算过程中右端点的最大值

  同时维护取得最大值的位置，记为P。MaxR关于P的对称点记为MaxR`，i关于P的对称点记为j。

  可能出现的情况有三种：

  ① i <= MaxR && len[j] + i - 1 < MaxR

  由对称性可知len[i] = len[j]

 ② i <= MaxR && len[j] + i - 1 >= MaxR

  此时以i为中心的回文串可能会延伸到MaxR的右边，所以要从P开始匹配，匹配完成后更新变量

  ③ i > MaxR

  此时无法利用P的回文串，直接对于以i为中心的串暴力匹配，匹配完成后更新变量

  4.例题POJ-3974

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 10;

char s1[maxn], s2[maxn * 2 + 10];//s1原串，s2新串
int l, len[maxn * 2 + 10];

void init()
{
	l = 0;

    int n = strlen(s1);

    s2[++l] = '#';
    s2[++l] = '#';
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        s2[++l] = s1[i];
        s2[++l] = '#';
    }

    s2[l + 1] = '\0'; // 结束字符
}

inline void manacher()
{
    int MaxR = 0, P = 0; // 定义MaxR与P
    for (int i = 1; i <= l; i++)
    {
        int now_len;//当前位置的len
        if (MaxR < i) now_len = 1; //如果是第③种情况
        else now_len = min(len[P * 2 - i], MaxR - i); //第①②种情况

        // 逐位匹配在第①种情况下是不会进行的，仅在②③种情况下进行，由对称性决定
        while (s2[i + now_len] == s2[i - now_len]) ++now_len;

        // 更新最右点
        if (i + now_len > MaxR)
        {
            MaxR = i + now_len;
            P = i;
        }

        len[i] = now_len;
    }
}

int main() {
    int T = 0;
    while (scanf("%s", s1), memcmp(s1, "END", 4) != 0)
    {
        init();
        manacher();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= l; i++) ans = max(ans, len[i] - 1);
        printf("Case %d: %d\n", ++T, ans);
    }

    return 0;
}