51Nod 1378 树形DP+贪心

题意：
给定一棵树和一个整数 $k$ ，可以在树的任意位置放置一个人，这个人可以监管距离其所在节点不超过 $k$ 的所有节点，问最少放置多少个人可以监管整棵树的所有节点。

思路：
此题的解题思路还挺具有启发意义。

对于树的相关问题，我们可以考虑先转换成线性问题来做，如果是线性的话，很显然最优解应该是从某一端的边界开始，每个长度为 $2k$ 的区间的中心均放置一个人，若最后的距离不足 $2k$ ，则也在其中心放置一个人。

我们可以推广贪心的思想到树形结构上：

对于这棵树，我们可以从叶子节点出发，定义 $dp[i]$ ：
若 $dp[i]>0$ ：则代表以 $i$ 为根节点的子树可以向上监管距离不超过 $dp[i]$ 的节点
若 $dp[i]<0$ ：则代表以 $i$ 为根节点的子树需要其他节点帮助其监管距离为 $-dp[i]$ 的节点

对于当前考虑的节点 $i$ ，我们可以求出其子节点 $dp$ 值的最小值 $Mn$ 和最大值 $Mx$ ，随后分以下情况讨论：
若 $i$ 为叶子节点，则说明需要其他节点帮助提供监管，更新 $dp[i] = -1$ 。
若 $Mn == -k$ 说明存在某一个以 $i$ 的子节点为根的子树，需要其他节点帮助提供 $k$ 个单位的监管距离，故由 $i$ 提供，更新 $dp[i] = k$ 。
若 $Mn + Mx - 1 >= 0$ 则说明有一个子树放置的人能够把其他全部需要监管的村庄都覆盖，则更新 $dp[i] = Mx - 1$
若以上情况均不满足，则说明可以继续向上查找更优的放置点，更新 $dp[i] = Mn - 1$

故此题得解。

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int INF = 1e8 + 10;
const int A = 2e5 + 10;
class Gra{
public:
    int v,next;
}G[A<<2];
int head[A],dp[A],n,k,tot,ans;

void add(int u,int v){
    G[tot].v = v;
    G[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void dfs(int u,int pre){
    int Mn = INF,Mx = -INF;
    for(int i=head[u] ;i!=-1 ;i=G[i].next){
        int v = G[i].v;
        if(v == pre) continue;
        dfs(v,u);

        Mn = min(Mn,dp[v]);
        Mx = max(Mx,dp[v]);
    }

    if(Mn == INF) dp[u] = -1;
    else if(Mn <= -k){
        dp[u] = k;
        ans++;
    }
    else if(Mn + Mx > 0) dp[u] = Mx - 1;
    else dp[u] = Mn - 1;
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot = 0;

    scanf("%d%d",&n,&k);

    if(k == 0) printf("%d\n",n);
    else{
        for(int i=1 ;i<n ;i++){
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);add(v,u);
        }

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        ans = 0;
        dfs(1,1);

        if(dp[1] < 0) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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