开头Orz yww，Orz xfz，Orz dtz，Orz lyy
一些定义
一个关于$x$的多项式$A(x)$可以表示为如下形式和：
$A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$
其中$a_0,a_1,a_2......a_{n-1}$称为多项式$A(x)$的系数，如果$A(x)$最高次数的一个非零项系数为$a_k$，则称其次数为$k$。任意一个严格大于$k$的整数都可以作为这个多项式的次数界，即对于一个次数界为$n$的多项式，他的次数可以是$[0,n-1]$中的任意一个整数。
多项式加减法
略
多项式乘法
直接FFT or NTT
代码：
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 #include<cmath>
5 #define pw(n) (1<<n)
6 using namespace std;
7 const double pi=acos(-1);
8 struct complex{
9 double a,b;
10 complex(double _a=0,double _b=0){
11 a=_a;
12 b=_b;
13 }
14 friend complex operator +(complex x,complex y){return complex(x.a+y.a,x.b+y.b);}
15 friend complex operator -(complex x,complex y){return complex(x.a-y.a,x.b-y.b);}
16 friend complex operator *(complex x,complex y){return complex(x.a*y.a-x.b*y.b,x.a*y.b+x.b*y.a);}
17 friend complex operator *(complex x,double y){return complex(x.a*y,x.b*y);}
18 friend complex operator /(complex x,double y){return complex(x.a/y,x.b/y);}
19 }a[100001],b[100001];
20 int n,m,bit,bitnum=0,rev[pw(20)];
21 void getrev(int l){//Reverse
22 for(int i=0;i<pw(l);i++){
23 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
24 }
25 }
26 void FFT(complex *s,int op){
27 for(int i=0;i<bit;i++)if(i<rev[i])swap(s[i],s[rev[i]]);
28 for(int i=1;i<bit;i<<=1){
29 complex w(cos(pi/i),op*sin(pi/i));
30 for(int p=i<<1,j=0;j<bit;j+=p){//Butterfly
31 complex wk(1,0);
32 for(int k=j;k<i+j;k++,wk=wk*w){
33 complex x=s[k],y=wk*s[k+i];
34 s[k]=x+y;
35 s[k+i]=x-y;
36 }
37 }
38 }
39 if(op==-1){
40 for(int i=0;i<=bit;i++){
41 s[i]=s[i]/(double)bit;
42 }
43 }
44 }
45 int main(){
46 scanf("%d%d",&n,&m);
47 for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lf",&a[i].a);
48 for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%lf",&b[i].a);
49 m+=n;
50 for(bit=1;bit<=m;bit<<=1)bitnum++;
51 getrev(bitnum);
52 FFT(a,1);
53 FFT(b,1);
54 for(int i=0;i<=bit;i++)a[i]=a[i]*b[i];
55 FFT(a,-1);
56 for(int i=0;i<=m;i++)printf("%d ",(int)(a[i].a+0.5));
57 return 0;
58 }
时间复杂度：$O(nlogn)$
多项式除法（取模）
多项式求逆
如果存在多项式$B(x)$使得：
$A(x)B(x)≡1(mod x^n)$
则$B(x)$称为$A(x)$在模$x^n$意义下的乘法逆元；
一个多项式存在乘法逆元的充要条件是他的常数项存在乘法逆元（不会证）
假设已经求出了$B'(x)$满足：
$A(x)B'(x)≡1(mod x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil})$
则
$A(x)B'(x)-1≡0(mod x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil})$
$(A(x)B'(x)-1)^2≡0(mod x^n)$
$A^2(x)B'^2(x)-2A(x)B'(x)+1≡0(mod x^n)$
$2A(x)B'(x)-A^2(x)B'^2(x)≡1(mod x^n)$
将此式减去$A(x)B(x)≡1(mod x^n)$，可得
$2A(x)B'(x)-A^2(x)B'^2(x)A(x)B(x)≡0(mod x^n)$
约去$A(x)$，得
$2B'(x)-A(x)B'^2(x)-B(x)≡0(mod x^n)$
$2B'(x)-A(x)B'^2(x)≡B(x) (mod x^n)$
于是就可以每次算出$2B'(x)-A(x)B'^2(x)$然后赋值给$B(x)$进行下一次迭代，因此时间复杂度为$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=O(nlogn)$，看着像是两个$log$的，实际上只有一个，这里提供一个lyy的证明：
设$n=2^k$
则$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{n}{2^i}logn=nlogn$
dtz：轻松证明
代码：咕咕咕
多项式开根
多项式求幂
多项式对数函数
多项式指数函数
多项式导数&多项式积分
从yww那里盗了两个式子，看的云里雾里的，先留个坑，等看懂了再说
设$A(x)=\sum_{i\ge 0}$，则$A(x)$的形式导数为：
$A'(x)=\sum\limits_{i\ge 1}ia_{i}x^{i-1}$
$A$同上，则：
$\int\limits A(x)=\sum\limits_{i\ge 1}\frac{a_{i-1}}{i}x^i$