图形学中常用计算几何总结

在做毕设过程中，进行三角网格处理的时候经常会遇到例如点与线段最短距离，点与三角形最短距离等计算，在这里汇总下，如遇到新的会不断更新。

常见几何计算

基础计算

向量点乘

向量点乘：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a||b| cos \theta$。
用途：向量点乘常用于判断向量是否垂直【垂直向量点乘为0】，向量的夹角大小。
几何意义：点乘以后是一个值，值的大小为向量模相乘再乘以$cos$值。
代数计算：$(x1,y1,z1) \cdot (x2,y2,z2) = x1x2+ y1y2+z1z2$

向量叉乘

向量叉乘：$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|sin \theta$ 即：$|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>$
用途：向量叉乘常用于计算法线，计算体积面积等。
几何意义：叉乘得到的是一个向量，向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。
代数计算：
假设$\overrightarrow{a} = (a_{x},a_{y},a_{z}),\overrightarrow{b} = (b_{x},b_{y},b_{z})$，则：
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})i+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})j+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})k$
转化为三阶行列式：

$$\begin{vmatrix} i & j & k \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}$$
二维情况：
二维的简化情况： $$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})k$$

点和线之间计算

点是否在直线上

直线的两点为AB，判定点是C，只需要计算三角形ABC的面积，面积为0，代表三点在同一条线上。使用叉乘：$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |a||b|sin \theta$

点是否在线段上

1. 判断点是否在直线AB上，判断过程同上。
2. 点C需要在以AB为对角线的矩形内，这限制在AB线段内。【C的每一维坐标必须在AB之间】

点是否在三角形内部

• 面积法
  三角形三个点ABC和点P。计算ABC面积，ABP面积，ACP面积，BCP面积，如果后三个面积相加等于ABC面积，说明在三角形内部。

• 退化到二维：叉乘方向
  如果点在三角形内部，则按照逆时针，满足P在三条边的左边，可以根据叉乘方向判断，AB和PA叉乘，如果三个叉乘方向都相同，说明在三角形内部。

点到直线的距离

• 几何做法
  假设给出三个点，A，B和C，求点C到点A、B定出的直线间距离。首先计算向量CB和向量CA的叉乘，底边AB，得到点到直线距离。
  

  $$d = \frac{CB \times CA}{\mid AB\mid}$$
  注：叉乘的结果是平行四边形的面积，除以一条边，即可得到高，即点到直线的距离

• 解析做法
  其中$Ax_{0}+By_{0}+C = 0$是直线方程：
  

  $$d=\frac{\mid Ax_{0}+By_{0}+C\mid}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

直线之间的距离

• 几何做法
  在一条直线上选取一个点，在另外一条直线选取两点，转化为计算点到直线距离。

• 解析做法
  只有两条直线相互平行，才有距离，因此解析方程的AB相同：
  

  $$d=\frac{\mid C_{2}-C_{1}\mid}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

点到线段的距离

1. 首先判断线段两点是否重合，如果重合，转化为点到点距离；
2. 判断点是否在直线上，如果在直线上：进一步判断是否在线段内，如果在，距离为0；否则计算到两个顶点的距离，取较小值。
3. 计算AC，BC的夹角，如果都为锐角，则最短距离即为点到直线距离。
4. 否则，计算到两点的最近距离。

点到三角形距离

题设：P和三角形ABC
1. 判断三角形三个点是否重合，重合转为点到点距离；
2. 判断三角形是否有两点重合，重合转为点到线段距离；
3. 判断三角形是否构成：是否三点共线，如果共线计算点到两条线段AB和AC的最短距离就可以。
3. 三角形内任意一点可以表示为：$T = A +t_{1}\overrightarrow{AB}+t_{2}\overrightarrow{AC}$，$t_{1},t_{2}$为0~1之间而且$t_{1}+t_{2}\le 1$
4. 则对于PT垂直于AB和AC可以得到两个方程，解方程可以得到$t_{1},t_{2}$
5. 根据$t_{1},t_{2}$计算出垂足点，并判断是否在三角形内，如果在内，则距离即为PT
6. 否则，计算垂足点到三角形三条边的最短距离d，点到三角形最短距离：sqrt(d^2 + PT^2)

完整的代码见github地址

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