bzoj4403 序列统计 卢卡斯定理

题目链接
题意：给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

题解：
一个新的套路：把单调不降问题转化为对于每个位置，让它的数值加上下标，从而转化成单调上升问题。
转化为单调上升之后，我们把$a_i$加上了$i$，那么问题就转化为了在$[l+1,r+n]$中选$n$个不同的数的方案数。
我们设$r-l+1$为$m$，那么答案就是

$$\sum_{i=1}^nC_{m+i-1}^{i}$$ 展开后就是 $$C_m^1+C_{m+1}^2+...+C_{m+n-1}^{n}$$ 我们没法直接计算，所以要变形一下,由 $C_m^0=1$把原式变成 $$-1+C_m^0+C_m^1+C_{m+1}^2+...+C_{m+n-1}^{n}$$ 我们发现根据组合数递推式 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$,这个式子前两项 $C_m^0+C_m^1$可以合并成 $C_{m+1}^1$，然后此时 $C_{m+1}^1$和 $C_{m+1}^2$又可以合并成 $C_{m+2}^2$，以此类推，我们最后可以把式子合并成 $C_{m+n}^{n}-1$，然后因为要取模，并且模数是质数，所以我们用卢卡斯定理就可以算出 $C_{m+n}^{n}$，最后再 $-1$即可。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t;
long long n,r,l,fac[1000010],mod=1e6+3;
inline long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
inline long long c(long long n,long long m)
{
    if(m>n)
    return 0;
    return fac[n]*ksm((long long)fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2,mod)%mod;
}
inline long long lucas(long long n,long long m)
{
    if(m>n)
    return 0;
    if(m==0)
    return 1;
    return (c(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod))%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<mod;++i)
    fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
        long long m=r-l+1;
        printf("%lld\n",((lucas(m+n,n)-1)%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}