浅谈矩阵乘法的应用

前言

矩阵乘法，常常被用作递推式的优化，如果把一个递推式一步的递推转换成乘上一个矩阵，那么由于矩阵乘法有结合律，所以我们就可以快速幂啦，起到优化的效果。而递推式出现最多的地方当然就是dp了，所以今天想简单的总结一下矩阵乘法优化dp。

正文

博主做的题比较少，见到的这类题也比较少，但有一道题感觉还是比较经典的。
给出一张有向图，问从1号点出发，走过路径长度为T，到达n号点的方案数，其中T<=2e9，每条边的边权均为1，n<=100。

那么显然有dp，$f[i][j]$表示到第j个点，当前走过的路径长度为i的方案数，那么我们枚举j的所有出边，设终点为k，则$f[i+1][k]+=f[i][j]$。
但是这样子不方便我们理解矩阵乘法，我换一种dp方式，$f[i][j][k]$表示从j到k走了i条边的方案数，然后我们把给我们的邻接矩阵定义为map好了，那么首先$f[1][j][k]$就对应了map对吧，因为你只能走一步，当然只能走map上的边咯。接下来我们考虑转移，我们$f[i][j][k]$能由什么得到，我们显然是从k出发倒退一步对吧，假设上一步我们是p—->k，那么$f[i-1][j][p]$—->$f[i][j][k]$对吧，我们把这个dp的式子用代码写出来。

    for (int i=1;i<=T;i++){
        for (int j=1;j<=n;j++){
            for (int k=1;k<=n;k++){
                for (int p=1;p<=n;p++){
                    if (map[p][k]==1) f[i][j][k]+=f[i-1][j][p];
                }
            }
        }
    } 

然后神奇的事情就要发生了，我们把这个式子变一下形

for (int i=1;i<=T;i++){
        for (int j=1;j<=n;j++){
            for (int k=1;k<=n;k++){
                for (int p=1;p<=n;p++){
                    f[i][j][k]+=f[i-1][j][p]*map[p][k];
                }
            }
        }
    } 

如果map[p][k]是0的话*0没有影响，如果是1的话没有区别对吧。
再仔细观察一下这个式子，是不是发现和矩乘的形式一模一样。
我们把i单独拎出来，那么f[i]这个矩阵就是由f[i-1]这个矩阵乘上map矩阵得到的，是不是非常神奇，接下来问题就好办了。
前面已经说过f[1]就是map，所以我们要求走T步，只要把map矩阵自乘T次得到ans，ans[1][n]就是最终答案了。

这道题经典就在于它的递推矩阵正是map矩阵本身，非常神奇，许多人知道这个结论，但是并不知道是怎么来的，希望上文能够帮助大家理解。

而其他题目dp的矩阵就因题而异了，博主由于水平的问题也讲不出更多了，然后有一道非常好的例题给大家安利一下。
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1297
SCOI2009 迷路
简述一下题意，就是有一张有向图，每条边有边权，注意不再是1，但是边权的范围1..9，然后走T的长度，问从1到n的方案数。
T <= 1000000000
如果边权不是1的话，用上面的转移就不对了，那怎么办，数据范围这么大，不矩乘不行啊，而边权又这么小，我们是不是可以把边权变成1。
我们把每个点x变成x[1]…x[9]，$map[x[i]][x[i+1]]=1$，然后如果x—>y有一条边权为t的边，我们就令$map[x[t]][y[1]]=1$，这样子我们就保证了从x走到y要花t的时间，然后边权也都被我们变成1了，这样我们再和上面一样做就行了。
希望本文对大家有帮助，以上全是基于博主的个人见解，如果有错误或者建议非常欢迎在评论留言，感激不尽。