矩阵乘法应用小结

隐隐约约记得打 ACM 时看过一篇关于介绍矩阵乘法应用的文章，还是在 @三江小渡的博客里面搜到的，今天中午吃饭的翻算法导论的时候看到一些跟矩阵乘法相关的算法，赶快又来翻了遍这篇博客：http://blog.pureisle.net/archives/900.html

矩阵乘法应用总结：http://blog.pureisle.net/archives/900.html

• N维点坐标变换。例如，利用矩阵乘法我们可以模拟点的平移、翻转、缩放、旋转等操作。
  

• 矩阵快速幂。A^N 求解，将幂数进行二进制分解加速运算。

• 矩阵幂和。SUM(A, N) = A^1 + A^2 + ... + A^N，递归求解。如果 N % 2 == 0 则 SUM(A, N) = SUM(A, N/2) * (E + A^(N/2))；否则SUM(A, N) = A^N + SUM(A, N-1)。

• m个置换操作。矩阵乘法合并，矩阵快速幂加速计算。

• 常系数线性齐次递推方程的求解，一方面可以通过求解多项式方程的根求解通项公式，另一方面我们也可以通过构造系数矩阵利用矩阵快速幂求解。

  • 二阶Fibnacci 和 N阶递推方程
    
    常系数线性齐次递推方程：https://www.zjyelizaveta.com/2017/07/02/常系数线性齐次递推关系学习笔记/

• 有向图 A --> B 恰好 K 条边的路径数。

  • A(i, j) = 1 表示 (i,j) 之间存在有向边，C(i, j) 表示 (i,j) 存在两条边的路径方案数，易知 C(i,j) = SUM(A(i,k)*A(k,j)), 1 <= k <= N ，同理 C*A、(C*A)*A，因此对于(i,j)恰好为 K 条边的路径数为 A^K。

另外，关于矩阵乘法在优化动态规划、图邻接矩阵、折半递归的应用，可以参考矩阵乘法在信息学中的应用这篇论文。强烈推荐阅读这篇文章。

TODO:

• 多米诺骨牌覆盖问题
• POJ 2778