经典的动态规划拆点问题。
题目描述
策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 NN 个点 MM 条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口， NN 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。
策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从 NN 号点出来。
策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点 到 NN 号点的最短路长为 dd ，那么策策只会喜欢长度不超过 d + Kd+K 的路线。
策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？
为避免输出过大，答案对 PP 取模。
如果有无穷多条合法的路线，请输出 -1−1 。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数 TT , 代表数据组数。
接下来 TT 组数据，对于每组数据： 第一行包含四个整数 N,M,K,PN,M,K,P ，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来 MM 行，每行三个整数 a_i,b_i,c_iai,bi,ci ，代表编号为 a_i,b_iai,bi 的点之间有一条权值为 c_ici 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。
输出格式：
输出文件包含 TT 行，每行一个整数代表答案。
说明
【样例解释1】
对于第一组数据，最短路为 33 。 $1 – 5, 1 – 2 – 4 – 5, 1 – 2 – 3 – 5$ 为 33 条合法路径。
【测试数据与约定】
对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下
| 测试点编号 | TT | NN | MM | KK | 是否有0边 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 10 | 0 | 否 |
| 2 | 5 | 1000 | 2000 | 0 | 否 |
| 3 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 4 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 5 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 否 |
| 6 | 5 | 1000 | 2000 | 50 | 是 |
| 7 | 5 | 100000 | 200000 | 0 | 否 |
| 8 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 否 |
| 9 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
| 10 | 3 | 100000 | 200000 | 50 | 是 |
对于 100%的数据, 1 \le P \le 10^9,1 \le a_i,b_i \le N ,0 \le c_i \le 10001≤P≤109,1≤ai,bi≤N,0≤ci≤1000 。
数据保证：至少存在一条合法的路线。
题目分析
计数题那么当然首先考虑dp啊。这是一个经典的拆点模型。由于k非常小，所以可以把每一个点拆成$k$个状态。
以上就是拆点的核心。
dp状态怎么设①
“拆点”听上去很高端，但实际上应该大家都在写题时不知不觉应用过。这里可以用$f[i][j]$表示$dis[1][i]=mnDis[1][i]+j$的方案数，其中$mnDis[1][i]$表示1到i的最短路径长度。
之所以$j$这一维代表的路径长度是$mnDis[1][i]+j$，是因为1..i的最短路长度是固定的，可以预先处理，而不用在状态里枚举。（这个和所谓的“dp套dp”非常像，本质就是通过预处理节省时间复杂度）
那么有了状态就很容易想到大概的转移思路了。用$dis[i]$表示1...i的最短路长度，那么通过一条边$(u,v,w)$存在$f[u][k]->f[v][dis[u]+k+w-dis[v]]$。
假设现在已经判断完是否存在零环了（这个对边排序或者怎么搞都行），那么具体的转移方程应该是怎么样的？
最初我是想：既然$f[u][k]->f[v][dis[u]+k+w-dis[v]]$，并且必定有$dis[u]+w≥dis[v]$，那么每一次转移时$f[i][j]$这个状态的$j$必定是单调增的啊，那么从$f[1][0]$开始对图进行记忆化搜索不就好了吗？
麻烦就麻烦在这个dp转移是有拓扑序的。
END