【Codeforces 983E】NN country 题解

题面：传送门

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    一道神奇的题目，很容易想到树上倍增，如果$x$是$y$的祖先或$y$是$x$的祖先，直接倍增跑一遍即可，否则，我们会发现$x\Rightarrow y$的答案其实可以分为$(x\Rightarrow lca_{x,y})+(lca_{x,y}\Rightarrow y)$，但是要注意，中间那段可能会在同一趟车次里，所以答案有可能会减$1$。

    那怎么做呢？假设$x\Rightarrow lca_{x,y}$至少需要$a$趟车，$y\Rightarrow lca_{x,y}$至少需要$b$趟车，设$up_x$为从$x$坐$a-1$趟车所能到达的最高点（最接近根的），$up_y$为从$y$坐$b-1$趟车所能到达的最高点，那么只需要判断有没有一趟车次经过$up_x$和$up_y$，有就答案减$1$，反之不减。

    $lca_{x,y},up_x,up_y,a,b$均可由树上倍增求得，在此不再赘述。判断是否无解只需要判一下$x$和$y$所能到达的最高点的深度是不是大于$lca_{x,y}$即可。

    最后的问题就是已知$x,y$，判断有没有一趟车次经过这两点。又因为以$x,y$为根的子树不重合，所以问题即为以$x$为根的子树中和以$y$为根的子树中是不是分别存在一趟车次的两个端点。

    想到这一步，我当时就蒙了。读了题解后发现，其实也不难。我们考虑离线，先处理出所有需要判断的点对，如果存在点对$x,y$，就向$x$的询问数组中加入一个$pair(y,id)$（$id$表示询问下标）。我们建立一个数组$chg_i$，以及一个树状数组$sum_i$，按原树的边$dfs$一遍，访问到点$x$时，我们先访问所有$x$的询问数组，对其中的所有点对$(y,id)$，让$chg_{id}$等于$y$的子树中的$sum$和（树状数组查询），接着再将以$x$为端点的每个车次的另一个端点$y$的值在树状数组的相应位置上加$1$，访问$x$的全部子树后，再访问所有$x$的询问数组，对其中的所有点对$(y,id)$，如果这时查询的$y$的子树中的$sum$和，如果结果不等于$chg_{id}$，就说明被修改过了，即$y$的子树中至少有一个点和$x$的子树中的一个点属于同一趟车次，即$x$与$y$能在同一趟车次中互相到达，所以$ans_{id}$需要减$1$，不理解的话看这段代码：

void solve(int x)
{
    for(int i=0;i<que[x].size();i++)//询问数组
    {
        int y=que[x][i].first,id=que[x][i].second;
        chg[id]=query(out[y])-query(in[y]-1);//chg数组记录原来的值
    }
    for(int i=0;i<to[x].size();i++)
    {
        int y=to[x][i];
        add(in[y],1);//修改
    }
    for(int i=0;i<G[x].size();i++)
    {
        int y=G[x][i];
        solve(y);//遍历整个子树
    }
    for(int i=0;i<que[x].size();i++)
    {
        int y=que[x][i].first,id=que[x][i].second;
        if(chg[id]!=query(out[y])-query(in[y]-1))ans[id]--;
        //与原来不相等，答案需要减1
    }
}

    最后直接输出$ans$数组就行了。

    树上倍增的时间复杂度是$\Theta(nlog_2n)$,算出初始答案的时间复杂度是$\Theta(qlog_2n)$，树状数组查询的总时间复杂度是$\Theta(nlog_2n)$,树状数组修改的时间复杂度是$\Theta(mlog_2n)$,最后总的复杂度：$\Theta((n+m+q)log_2n)$。

    全部代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,q;
vector<int>G[200010];
vector<int>to[200010];
vector<pair<int,int> >que[200010];
int up[200010][21];
int dep[200010];
int par[200010][21];
int in[200010],out[200010];
int ans[200010];
int cnt;
void dfs(int x)
{
    in[x]=++cnt;
    for(int i=0;i<G[x].size();i++)
    {
        int y=G[x][i];
        par[y][0]=x;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs(y);
    }
    out[x]=cnt;
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)if(dep[par[x][i]]>=dep[y])x=par[x][i];
    if(x==y)return x;
    for(int i=20;i>=0;i--)if(par[x][i]!=par[y][i])x=par[x][i],y=par[y][i];
    return par[x][0];
}
void update(int x,int y)
{
    if(dep[y]<dep[up[x][0]])up[x][0]=y;
}
int calup(int x)
{
    for(int i=0;i<G[x].size();i++)
    {
        int y=G[x][i];
        update(x,calup(y));
    }
    return up[x][0];
}
bool insubt(int x,int y)
{
    return (in[y]>=in[x] && in[y]<=out[x]);
}
pair<int,int>calc(int x,int y)
{
    int res=0;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    {
        if(!insubt(up[x][i],y))x=up[x][i],res+=(1<<i);
    }
    return make_pair(x,res); 
}
int sum[200010];
void add(int x,int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)sum[i]+=v;
}
int query(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=i&-i)res+=sum[i];
    return res;
}
int chg[200010];
void solve(int x)
{
    for(int i=0;i<que[x].size();i++)
    {
        int y=que[x][i].first,id=que[x][i].second;
        chg[id]=query(out[y])-query(in[y]-1);
    }
    for(int i=0;i<to[x].size();i++)
    {
        int y=to[x][i];
        add(in[y],1);
    }
    for(int i=0;i<G[x].size();i++)
    {
        int y=G[x][i];
        solve(y);
    }
    for(int i=0;i<que[x].size();i++)
    {
        int y=que[x][i].first,id=que[x][i].second;
        if(chg[id]!=query(out[y])-query(in[y]-1))ans[id]--;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        G[x].push_back(i);
    }
    dep[0]=-1;
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)par[j][i]=par[par[j][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)up[i][0]=i;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int xy=lca(x,y);
        update(x,xy);
        update(y,xy);
        to[x].push_back(y);
        to[y].push_back(x);
    }
    calup(1);
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)up[j][i]=up[up[j][i-1]][i-1];
    }
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int xy=lca(x,y);
        if(!insubt(up[x][20],xy) || !insubt(up[y][20],xy))
        {
            ans[i]=-1;
            continue;
        }
        pair<int,int>r1=calc(x,xy);
        pair<int,int>r2=calc(y,xy);
        x=r1.first;y=r2.first;
        ans[i]=r1.second+r2.second;
        if(x==xy || y==xy)ans[i]++;
        else
        {
            ans[i]+=2;
            que[x].push_back(make_pair(y,i));
        }
    }
    solve(1);
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}