【BZOJ2326】【HNOI2011】数学作业 题解

题面：传送门

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    设$f_x$为$123...101112...100101102...x$对$m$取模的答案，则最终答案为$f_n$。很容易得到递推式：

$$f_x=f_{x-1}\times10^{\lfloor lg\space x\rfloor+1}+x$$

    由于$\lfloor lg\space x\rfloor+1$的不同的取值数量不超过19个，所以我们考虑分块矩乘。

    得出矩阵递推式：

$$\begin{pmatrix}f_n\\n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10^{\lfloor lg\space x\rfloor+1}&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f_{n-1}\\n-1\\1\end{pmatrix}$$

    用快速幂优化，然后就做完了。

    时间复杂度：$\Theta(3^2·log_2n·lg\space n)$。

    我的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
long long n;
int m;
struct mat{
    int a[4][4];
    mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
    mat operator*(mat u)const
    {
        mat res;
        for(int i=1;i<=3;i++)
        {
            for(int j=1;j<=3;j++)
            {
                for(int k=1;k<=3;k++)
                {
                    res.a[i][j]+=1LL*a[i][k]*u.a[k][j]%m;
                    if(res.a[i][j]>=m)res.a[i][j]-=m;
                } 
            }
        }
        return res;
    }
};
mat un;
mat t;
mat ans;
mat qmul(mat x,long long p)
{
    if(p==0)return un;
    if(p==1)return x;
    mat res=qmul(x,p>>1LL);
    res=res*res;
    if(p&1LL)res=res*x;
    return res;
}
int main()
{
    un.a[1][1]=un.a[2][2]=un.a[3][3]=1;
    t.a[1][2]=t.a[1][3]=t.a[2][2]=t.a[2][3]=t.a[3][3]=1;
    ans.a[1][1]=0;
    ans.a[2][1]=0;
    ans.a[3][1]=1;
    scanf("%lld%d",&n,&m);
    long long cur=10LL;
    while(n>=cur)
    {
        t.a[1][1]=cur%m;
        ans=qmul(t,cur/10LL*9LL)*ans;
        cur*=10LL;
    }
    t.a[1][1]=cur%m;
    ans=qmul(t,n+1-cur/10LL)*ans;
    printf("%d",ans.a[1][1]);
    return 0;
}