网络流之最大流（FF）——杨子曰算法

先上题：在一个国家里，有很多下水道（有向边），下水道都有自己能运输水的最大量，这些下水道把所有的n个城市都连在了一起，现在要从拥有无穷无尽水源的城市通过下水道，输送到城市n（除城市1外其他城市都没有水），问，最多能运输多少水？

今天，我们来曰图论中一个高大上的算法——网络流——中的最大流。就是在一个有向图中，水流从一个点流向另一个点，能流过去的水流量。
解释下概念：

源点：水流出发的点
汇点：水流的汇聚点

最大流有很多的求法，今天曰一个代码比较简单的——FF算法，思路可以说是简单至极呀！就是不停地用DFS去找增广路（就是任意一条能从源点到汇点的路），记录每条边上剩余的流量，把答ans加上，直到找不到了为止，这是的ans就是答案。
立马有大佬发言：我有反例，Look at the 图

这里写代码片

假设第一次找到了这条增广路：
这里写图片描述
然后图就变成了这样：

结果找不到增广路了，得到答案100.BUT肉眼一观察就知道是200呀！错了！嘿嘿嘿~~
杨子曰：杨子曰的永远是真理，我们在找到增广路后要对路径上的边建一条反向边，在反方向的那条边的流量上增加流过的值，比如找到了刚才那条增广路，我们要把图变成这样：
这里写图片描述
然后再找，找到1→3→2→4，对于3→2这条边又想左流过100，所以反方向2→3这条边的流量要加上100，图就变成这样：

其实就是：

这回是真的找不到任何增广路了，得到答案200，完事

立马就有人提出了问题，为什么可以建一条反向边？因为反向边可以反悔你犯下的错误，当你在找到一条路径后，它不一定很优，这是你可以找另一条反方向的边来抵消它，你也可以这样理解：你向右流了100的水流，就相当于向左流了-100的水流，假设原水管的流量是500，你就可以向左流600了，懂否？

FF算法通过不断的DFS灌水找增广路，直到这不到了为止实现的，写代码时要注意：
由于是灌水，所以要有vis数组，注意每次找增广路前要清空
用邻接表存边的时候要把每组相反的边用编号（0,1）一组，（2,3）一组……，Why？因为之后你可以通过异或1（^1）来找到它的反方向的边
还有一点，你可以在DFS回溯的时候顺便把条边和反向边更新掉
顺便提一下，所有反向边开始时剩余流量设为0
代码走起：

int dfs(int x,int flow){//flow表示流到x，还剩下的水流量
    if (x==n) return flow;
    vis[x]=1;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to,tmp;
        if (!vis[v] && edge[i].c && (tmp=dfs(v,min(flow,edge[i].c)))){
            edge[i].c-=tmp;
            edge[i^1].c+=tmp;
            return tmp;
        }
    }
    return 0;
}

对于这个算法的复杂度，可以说是很玄学呀！FF算法的复杂度就是传说中的玄学复杂度——O（n*m^2），一算，啊呀！TLE了；一交，啊呀！AC了，在实际生活中它的复杂度远远不及这个值，So，放心大胆地去交你TLE的代码吧！（真的TLE了别来怪我）
OK，完事

c++完整模板（HihoCoder - 1369）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=505,maxm=20005,inf=200000000;

struct Edge{
    int next,to,c;
}edge[maxm*2];

int head[maxn],vis[maxn];

int n,m,nedge=0;

void addedge(int x,int y,int z){
    edge[nedge]=(Edge){head[x],y,z}; head[x]=nedge++;
    edge[nedge]=(Edge){head[y],x,0}; head[y]=nedge++;
}

int dfs(int x,int flow){
    if (x==n) return flow;
    vis[x]=1;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to,tmp;
        if (!vis[v] && edge[i].c && (tmp=dfs(v,min(flow,edge[i].c)))){
            edge[i].c-=tmp;
            edge[i^1].c+=tmp;
            return tmp;
        }
    }
    return 0;
}

int main(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        addedge(x,y,z);
    }
    int tmp,ans=0;
    while(tmp=dfs(1,inf)){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans+=tmp;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

于 XJZX 507机房
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网络流之最大流——杨子曰算法

网络流之最大流（FF）——杨子曰算法

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