简单地介绍一下张量网络是什么，以及它有什么应用。
1. 张量（tensor）
张量网络中的张量，和微分几何和GR中的张量场并不完全相同。在微分几何中，一点处的张量是基于流形上该点的切空间的。一个(m,n)型张量是指将m个协变矢量（余切矢量，cotangent vector）和n个逆变矢量（切矢量，tangent vector）映射到数域上的多重线性映射。取定一组基，这个多重线性映射可以用一系列分量表示出来。这些分量当然和基的选取有关。在张量网络中，我们通常不会去作坐标变换，因此，任何一个具有n个指标的分量集合就称为一个张量。例如，christoffel符号在几何意义上不构成张量，但它是可以出现在张量网络中的。
2.量子力学里的张量
量子力学有一个基本假设，复合系统的Hilbert空间是其子系统Hilbert空间的张量积。因此，多体波函数天然就是一个张量。对于n体系统来说，它的波函数是一个n阶张量。当然，由于维数相同的线性空间是同构的，所以也可以把波函数看成一个矢量，这个矢量的维数是d^n。n体系统的哈密顿量是d^n维的矩阵，当然也可以看成一个(n,n)型的张量。单体算子可以看成2阶张量。两体算子可以看成d^2维的二阶张量，也可以看成维数为d的（2，2）型（四阶）张量。
量子力学中所有可观测量的平均值都可以写成内积，从矩阵的观点看这是二次型。如果波函数是一个张量的形式，算符也可以写成局域张量的求和，那么算符的平均值也可以看作这些张量的缩并的和。
3. 张量网络 (tensor network)
张量的基本运算包括线性运算、张量积、转置和缩并。当涉及的指标较少，缩并关系简单时我们常用抽象指标记号去作解析运算，例如在GR里。但是，当张量数目多，指标缩并关系复杂时，我们最好能用图形表示它们的缩并关系，这就是张量网络。在张量网络中，n阶张量由带n条外腿的圆圈（或方形、三角形等）表示，每条外腿代表一个指标。如果某两个张量的外腿连成一条线，就代表这两个张量的对应指标缩并。整个图形由张量、内腿（参与缩并的指标）和外腿（不参与缩并的指标）构成。整个图形所表示的张量的阶数就是其外腿的个数。例如，如果一个张量网络用来表示n体系统的波函数，那么它就有n条外腿。
4. why tensor networks？
对于量子多体系统，其一般波函数有d^n个分量，当粒子数较大时，这个数目是天文数字，电脑不可以存储。好在我们知道量子系统的基态一般具有两个性质：1. area law 2. exponential/algebraic decay of correlations.
首先，任何多体量子系统都可以选取其中L个连续的粒子构成子系统，而子系统与其他部分是有纠缠的。这个纠缠由子系统的约化密度矩阵的本征值刻画。把这些本征值按一定方式组合成一个数，就是纠缠熵（entanglement entropy），记为S。它刻画了这个长为L的子系统与其他部分的纠缠大小。对于一维系统来说，如果这个系统是gapped，那么它的基态具有如下性质：S有和L无关的上界；如果它是gapless，那么它的基态具有如下性质：S的上界和log L成正比。对于N维系统而言，取子系统为一个N维超正方体，边长为L，那么纠缠熵S的上界与这个正方体的表面积成正比，或者对于gapless系统而言，可以有log L的修正。以上只是对基态和低激发态说的，而凝聚态物理中我们一般也只关心基态和低激发态。对于Hilbert空间中的一般态，其纠缠熵符合volume law，要远远大于基态。
其次，统计物理表明，系统处在临界点（critical point）附近时，关联长度趋于无穷大，关联函数是按多项式递减的（例如L^(d-2+eta)，eta是临界指数，称为反常维度）；在系统为gapped的时候，关联函数是指数下降的（对应的临界指数称为dynamical critical exponent或者z）。
这些性质使得我们在选取系统的波函数时，不需要考虑大部分Hilbert空间的态，从而通过恰当的参数化，减少独立变量的个数。这种参数化是由tensor network描述的。换而言之，用tensor network表述的量子态能很好的符合系统基态的纠缠和关联性质，因此是很好的试验态。其独立参量个数一般只有O（n），甚至O（1）（当系统具有平移不变性时），这使得高效模拟成为可能。
5.MPS
矩阵乘积态（matrix product states，MPS）是最先被发现和使用的张量网络。它源于人们对密度矩阵重整化群（density matrix renormalization group，DMRG）的原理探究。DMRG是90年代White等人为了模拟量子多体系统提出的算法[1]。它被广泛使用，大获成功的同时，其算法的有效性却没有理论证明。同时，人们发现DMRG不能准确模拟gapless系统。直到00年代人们发现它本质上是使用MPS作为一维量子系统基态的试验态[2]。MPS的纠缠熵有上界，正好符合1维gapped系统的性质。因此在处理critical系统时就会出现一些问题，例如，只有短程行为是准确的（technically，这种现象被称为MPS引入了off-criticality，或者说引入了artifical correlation length）。现在，MPS被高效地用于无限大一维系统的基态和激发态的模拟中[3][4][5]。同时，对MPS取连续极限可以用它模拟量子场论的基态[6][19]。而笔者本人现在的工作是尽量实现用MPS模拟critical系统，实现对Conformal Field Theory的精确模拟。（这一工作已在会议中展示，文章in preparation）
6. PEPS
投影纠缠对态（projected entangled pair states，PEPS）是MPS在二维的拓展，它比MPS更难操纵，尽管获得了较大成功，但算法复杂度要比MPS高很多。二维系统有很多更有趣的物理性质，例如拓扑序、拓扑相变。PEPS可以用来研究这些性质。[7][8]
7.MERA
多尺度纠缠重整化试验态（multiscale entanglement renormalization ansatz，MERA）是一种一维量子系统基态的试验态。它具有log L的纠缠，符合一维临界系统的基态性质。而且MERA天然有尺度不变性（scale invariance），符合统计物理中对critical system的描述（critical point是重整化群流的不动点）[9][10]。MREA可以看成从直积态出发，按尺度逐层引入纠缠的过程。这一过程和holograhy的思想类似。MERA作为临界系统的试验态取得了极大成功，能够精确求解共形场论（conformal field theory，一种描述临界系统的场论），得到scaling operator的scaling dimension、conformal spin和operator product expansion [11]。并能构造具有正确fixed point的重整化群流[12][13]。高维的MERA也被发现并应用，例如2D MERA，branching MERA[14]。现在，MERA还被看成是实现AdS/CFT对偶的一种方式，成为一种全息对偶（holographic duality）的玩具模型[15][16]。MERA也被连续化为cMERA，因此可以用来模拟量子场论和共形场论[17][18]。
8.其他应用
除了模拟量子系统，tensor network还广泛运用于经典统计物理、量子化学和机器学习中。由于作者本人对其中的某些领域不熟悉，所以本文也止步于此。
9. 更新：最近的“张量网络与量子场论”会议上有很多非常精彩的进展。我将会稍后补充，敬请期待。
--Interested readers may want to refer to following literatures and references therein--
For general information, Arxiv: 1603.03039.
For specific details, please see below:
[1] S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992).
[2] U. Schollwoeck, Annals of Physics 326, 96 (2011)
[3] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003)
[4] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 98, 070201 (2007)
[5] J. Haegeman etal, Phys. Rev. B 88, 075133 (2013)
[6] J. Haegeman etal, Phys.Rev.Lett.104:190405,2010
[7] S. Yang etal, Phys. Rev. Lett. 114, 106803 (2015)
[8] N. Schuch, Phys. Rev. Lett. 111, 090501 (2013)
[9] K.G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975)
[10] Scaling and Renormalization in Statistical Physics, J. Cardy (Cambridge
University Press, 1996)
[11] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 99, 220405 (2007), G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008).
[12] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115, 180405 (2015)
[13] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115, 200401 (2015)
[14] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. B 89, 235113 (2014)
[15] B. Swingle, Phys. Rev. D 86, 065007 (2012)
[16] B. Czech etal, arXiv:1512.01548
[17] J. Haegeman etal, Phys. Rev. Lett. 110, 100402 (2013)
[18] Q, Hu, G.Vidal, arXiv:1703.04798
[19] M. Ganahl etal, arXiv:1611.03779
1. 张量（tensor）
张量网络中的张量，和微分几何和GR中的张量场并不完全相同。在微分几何中，一点处的张量是基于流形上该点的切空间的。一个(m,n)型张量是指将m个协变矢量（余切矢量，cotangent vector）和n个逆变矢量（切矢量，tangent vector）映射到数域上的多重线性映射。取定一组基，这个多重线性映射可以用一系列分量表示出来。这些分量当然和基的选取有关。在张量网络中，我们通常不会去作坐标变换，因此，任何一个具有n个指标的分量集合就称为一个张量。例如，christoffel符号在几何意义上不构成张量，但它是可以出现在张量网络中的。
2.量子力学里的张量
量子力学有一个基本假设，复合系统的Hilbert空间是其子系统Hilbert空间的张量积。因此，多体波函数天然就是一个张量。对于n体系统来说，它的波函数是一个n阶张量。当然，由于维数相同的线性空间是同构的，所以也可以把波函数看成一个矢量，这个矢量的维数是d^n。n体系统的哈密顿量是d^n维的矩阵，当然也可以看成一个(n,n)型的张量。单体算子可以看成2阶张量。两体算子可以看成d^2维的二阶张量，也可以看成维数为d的（2，2）型（四阶）张量。
量子力学中所有可观测量的平均值都可以写成内积，从矩阵的观点看这是二次型。如果波函数是一个张量的形式，算符也可以写成局域张量的求和，那么算符的平均值也可以看作这些张量的缩并的和。
3. 张量网络 (tensor network)
张量的基本运算包括线性运算、张量积、转置和缩并。当涉及的指标较少，缩并关系简单时我们常用抽象指标记号去作解析运算，例如在GR里。但是，当张量数目多，指标缩并关系复杂时，我们最好能用图形表示它们的缩并关系，这就是张量网络。在张量网络中，n阶张量由带n条外腿的圆圈（或方形、三角形等）表示，每条外腿代表一个指标。如果某两个张量的外腿连成一条线，就代表这两个张量的对应指标缩并。整个图形由张量、内腿（参与缩并的指标）和外腿（不参与缩并的指标）构成。整个图形所表示的张量的阶数就是其外腿的个数。例如，如果一个张量网络用来表示n体系统的波函数，那么它就有n条外腿。
4. why tensor networks？
对于量子多体系统，其一般波函数有d^n个分量，当粒子数较大时，这个数目是天文数字，电脑不可以存储。好在我们知道量子系统的基态一般具有两个性质：1. area law 2. exponential/algebraic decay of correlations.
首先，任何多体量子系统都可以选取其中L个连续的粒子构成子系统，而子系统与其他部分是有纠缠的。这个纠缠由子系统的约化密度矩阵的本征值刻画。把这些本征值按一定方式组合成一个数，就是纠缠熵（entanglement entropy），记为S。它刻画了这个长为L的子系统与其他部分的纠缠大小。对于一维系统来说，如果这个系统是gapped，那么它的基态具有如下性质：S有和L无关的上界；如果它是gapless，那么它的基态具有如下性质：S的上界和log L成正比。对于N维系统而言，取子系统为一个N维超正方体，边长为L，那么纠缠熵S的上界与这个正方体的表面积成正比，或者对于gapless系统而言，可以有log L的修正。以上只是对基态和低激发态说的，而凝聚态物理中我们一般也只关心基态和低激发态。对于Hilbert空间中的一般态，其纠缠熵符合volume law，要远远大于基态。
其次，统计物理表明，系统处在临界点（critical point）附近时，关联长度趋于无穷大，关联函数是按多项式递减的（例如L^(d-2+eta)，eta是临界指数，称为反常维度）；在系统为gapped的时候，关联函数是指数下降的（对应的临界指数称为dynamical critical exponent或者z）。
这些性质使得我们在选取系统的波函数时，不需要考虑大部分Hilbert空间的态，从而通过恰当的参数化，减少独立变量的个数。这种参数化是由tensor network描述的。换而言之，用tensor network表述的量子态能很好的符合系统基态的纠缠和关联性质，因此是很好的试验态。其独立参量个数一般只有O（n），甚至O（1）（当系统具有平移不变性时），这使得高效模拟成为可能。
5.MPS
矩阵乘积态（matrix product states，MPS）是最先被发现和使用的张量网络。它源于人们对密度矩阵重整化群（density matrix renormalization group，DMRG）的原理探究。DMRG是90年代White等人为了模拟量子多体系统提出的算法[1]。它被广泛使用，大获成功的同时，其算法的有效性却没有理论证明。同时，人们发现DMRG不能准确模拟gapless系统。直到00年代人们发现它本质上是使用MPS作为一维量子系统基态的试验态[2]。MPS的纠缠熵有上界，正好符合1维gapped系统的性质。因此在处理critical系统时就会出现一些问题，例如，只有短程行为是准确的（technically，这种现象被称为MPS引入了off-criticality，或者说引入了artifical correlation length）。现在，MPS被高效地用于无限大一维系统的基态和激发态的模拟中[3][4][5]。同时，对MPS取连续极限可以用它模拟量子场论的基态[6][19]。而笔者本人现在的工作是尽量实现用MPS模拟critical系统，实现对Conformal Field Theory的精确模拟。（这一工作已在会议中展示，文章in preparation）
6. PEPS
投影纠缠对态（projected entangled pair states，PEPS）是MPS在二维的拓展，它比MPS更难操纵，尽管获得了较大成功，但算法复杂度要比MPS高很多。二维系统有很多更有趣的物理性质，例如拓扑序、拓扑相变。PEPS可以用来研究这些性质。[7][8]
7.MERA
多尺度纠缠重整化试验态（multiscale entanglement renormalization ansatz，MERA）是一种一维量子系统基态的试验态。它具有log L的纠缠，符合一维临界系统的基态性质。而且MERA天然有尺度不变性（scale invariance），符合统计物理中对critical system的描述（critical point是重整化群流的不动点）[9][10]。MREA可以看成从直积态出发，按尺度逐层引入纠缠的过程。这一过程和holograhy的思想类似。MERA作为临界系统的试验态取得了极大成功，能够精确求解共形场论（conformal field theory，一种描述临界系统的场论），得到scaling operator的scaling dimension、conformal spin和operator product expansion [11]。并能构造具有正确fixed point的重整化群流[12][13]。高维的MERA也被发现并应用，例如2D MERA，branching MERA[14]。现在，MERA还被看成是实现AdS/CFT对偶的一种方式，成为一种全息对偶（holographic duality）的玩具模型[15][16]。MERA也被连续化为cMERA，因此可以用来模拟量子场论和共形场论[17][18]。
8.其他应用
除了模拟量子系统，tensor network还广泛运用于经典统计物理、量子化学和机器学习中。由于作者本人对其中的某些领域不熟悉，所以本文也止步于此。
9. 更新：最近的“张量网络与量子场论”会议上有很多非常精彩的进展。我将会稍后补充，敬请期待。
--Interested readers may want to refer to following literatures and references therein--
For general information, Arxiv: 1603.03039.
For specific details, please see below:
[1] S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992).
[2] U. Schollwoeck, Annals of Physics 326, 96 (2011)
[3] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003)
[4] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 98, 070201 (2007)
[5] J. Haegeman etal, Phys. Rev. B 88, 075133 (2013)
[6] J. Haegeman etal, Phys.Rev.Lett.104:190405,2010
[7] S. Yang etal, Phys. Rev. Lett. 114, 106803 (2015)
[8] N. Schuch, Phys. Rev. Lett. 111, 090501 (2013)
[9] K.G. Wilson, Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975)
[10] Scaling and Renormalization in Statistical Physics, J. Cardy (Cambridge
University Press, 1996)
[11] G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 99, 220405 (2007), G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008).
[12] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115, 180405 (2015)
[13] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115, 200401 (2015)
[14] G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. B 89, 235113 (2014)
[15] B. Swingle, Phys. Rev. D 86, 065007 (2012)
[16] B. Czech etal, arXiv:1512.01548
[17] J. Haegeman etal, Phys. Rev. Lett. 110, 100402 (2013)
[18] Q, Hu, G.Vidal, arXiv:1703.04798
[19] M. Ganahl etal, arXiv:1611.03779