基于张量网络的机器学习（八）

  已经很久没更新这个专栏了，现在让我们先解决一下上一次博客中提出的问题：

1. 什么是纠缠熵面积定律？
     前面已经提到过，截断了的MPS是否有效与纠缠熵的面积定律有关（即纠缠熵面积定律告诉我们你的截断维数可以怎么取，我们根据这种方式），而且，我们希望借助纠缠熵面积定律找到一维MPS的截断维数，最后使得MPS中的矩阵维数为1×d，d×d²，d²×$\chi$，……，$\chi$×$\chi$，……，$\chi$×d²，d²×d，d×1。用比较物理的话来说，纠缠熵面积定律就是在热力学极限下，对于有短程相互作用构成的哈密顿量，如果其基态相对于激发态有能隙，那么基态的两个部分（A、B两部分构成一个量子体系）之间的纠缠熵正比于它们接触的表面积，式子为：
   $$S_{A\mid B}\propto L^{\mathcal{D}-1}$$
   L代表A、B接触部分的周长，$\mathcal{D}$代表体系的空间维度，我们知道，量子态的纠缠熵是这么定义的：
   $$S=-\sum _{\alpha =0}^{D-1}{\Lambda }_{\alpha }^2\ln {\Lambda }_{\alpha }^2$$
   $\Lambda$_$\alpha$是奇异值，$\Lambda$是奇异谱，有时候为了方便，也会把奇异谱中的奇异值排列成一个向量

2. 时间演化是什么？
     时间演化顾名思义就是指随着时间的变化状态发生了改变，在量子力学上就是物理状态和观测量随时间的变化，再具体点就是态矢随时间的演化，由此还能引入时间演化算符的概念，就我所知，时间演化算符与薛定谔方程有着一定的联系，并且在TEBD里起着一定的作用暂时了解这么多。

1.最大本征值问题

  最大本征值问题定义为：假设矩阵本征值为实数，求解给定矩阵的最大本征值及其本征态，即给定一个矩阵M，求解归一化向量V使得：
$$\mathrm{f}=\left|{\mathrm{v}}^{\mathrm{T}}\mathrm{M}\mathrm{v}\right|$$的值极大化，该最优化问题的解为最大本征态，相应的f值对应最大本征值。
  最大本征值的幂级数求法如下：
$$\underset{K\to \infty }{\lim }{M}^K={\Gamma }_0^K{u}^{(0)}{u}^{(0)T}$$
其中${\Gamma }_0$和$u^{(0)}$为实对称矩阵M对应的最大的唯一本征值和本征向量，有过线性代数基础的能够很好理解这个。

2.热力学基础

  热力学量即对应物理量的概率平均值，其式子如下：
$$O(\beta )=\sum _{s_1,s_2,\dots }P\left(s_1,s_2,\dots ;\beta \right)O\left(s_1,s_2,\dots \right)$$
其中O是物理值，P是概率，且：
$$P\left(s_1,s_2,\dots ;\beta \right)=\frac{e^{-\beta E\left(s_1,s_2,\dots \right)}}{Z}$$
分号前面的s₁,s₂……表示状态，后面的$\beta$表示倒温度，为温度的倒数，Z是配分函数，E是能量，配分函数Z可以理解为归一化因子，$$Z=\sum _{s_1,s_2,\dots }{e}^{-\beta E\left(s_1,s_2,\dots \right)}$$

3.薛定谔方程

二.基态和哈密顿量期望值的求解对应的最优化问题

这一篇博客是非常水的，因为后面的内容会比较麻烦，而且再看某一篇关于mps的论文遇到了感觉很物理的障碍（想写的东西也写不出来），因此我一直就没有下定决心去好好写一写其他的东西了，我觉得我大概可以鸽了（除非某一天心血来潮再来写一写），前面的东西或许会有一点帮助，而有关薛定谔方程以及其他的一些东西可以参考某个知乎大佬，认真看下去会有一种恍然大悟的感觉（链接）。下一篇的内容将真正涉及到机器学习。