专题五 数据分析与多项式计算
一 数据统计分析
本部分主要包括求最大元素与最小元素、求平均值与中值、求和与求积、累加和与累乘积、求标准差与相关系数、排序等。
1. 求矩阵的最大元素和最小元素
- max()：求向量或矩阵的最大元素。
- min()：求向量或矩阵的最小元素。
上述两函数的调用格式相同。以下以max函数为例进行介绍，min函数的用法与以下介绍相同。
当函数参数为向量时，函数有两种调用格式：
- y=max(X)：返回向量X的最大值存入y。如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
- [y, k]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值元素的序号存入k。如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
举个例子：求向量x的最大元素及最大元素的位置。
clear; clc;
x = [-43, 72, 9, 16, 23, 47];
[y, k] = max(x)运行结果显示y=72, k=2。
当函数参数为矩阵时，函数有三种调用格式：
- max(A)：返回一个行向量。向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
- [Y, U]=max(A)：返回行向量Y和U。向量Y记录矩阵A的每列的最大值，向量U记录每列最大值元素的行号。
- max(A, [], dim)：dim取1或者2。当dim取1时，该函数的功能和max(A)完全相同，按列取最大值；当dim取2时，按行取最大值，该函数返回一个列向量，其第i个元素是矩阵A的第i行上的最大值。
举个例子：求矩阵A的每行及每列的最大元素，并求整个矩阵的最大元素。
clear; clc;
A = [13, -56, 78; 25, 63, -235; 78, 25, 563; 1, 0, -1];
% 求矩阵A的每列的最大元素及最大元素的位置
[y1, k1] = max(A);
% 求矩阵A的每行的最大元素及最大元素的位置
[y2, k2] = max(A, [], 2);
% or [y2, k2] = max(A');
% 求整个矩阵的最大元素
y = max(max(A));
% or y = max(y1); or y = max(y2); 工作空间中保存的变量如下：
用什么方法只调用一次max函数就能求得整个矩阵的最大值？
clear; clc;
A = [13, -56, 78; 25, 63, -235; 78, 25, 563; 1, 0, -1];
[y, k] = max(A(:)); % 采用A(:)的方法将矩阵元素按列堆叠，形成一个列向量运行结果显示y=563, k=11。
2. 求矩阵的平均值和中值
- 平均值指的是算术平均值，即每项数据之和除以数据的项数。
- 中值：指在数据序列中，其值的大小处在中间的元素。如果数据个数为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元素的平均值。
有了平均值，为什么还要中值？
因为平均值容易受少数极端数据的影响。
在MATLAB中求矩阵的平均值和中值：
- mean()：求算术平均值。
- median()：求中值。
上述两个函数的调用方式与max函数相似。
3. 求和与求积
在MATLAB中，对向量和矩阵进行求和与求积的函数如下：
- sum()：求和函数。
- prod()：求积函数。
上述两个函数的调用方式与max函数相似。
4. 累加和与累乘积
在MATLAB中，对向量和矩阵进行累加和与累乘积的函数如下：
- cumsum()：累加和函数。
- cumprod()：累乘积函数。
举个例子：求向量X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]的积与累乘积。
5. 标准差与相关系数
标准差
其中，S1称为样本标准差，S2称为总体标准差。在MATLAB中用于计算数据序列标准差的函数是std()。std函数有3种调用格式：
- std(X)：计算向量X的标准差。
- std(A)：计算矩阵A的各列的标准差。
- std(A,flag,dim)：其中flag取值为0或1。当flag=0时，按S1所列公式计算样本标准差；当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准差。dim的用法与max函数中相同。默认情况下，flag=0, dim=1（即计算各列的样本标准差）。
相关系数
r越接近于0，说明两组数据序列越不相关；|r|越接近于1，说明两组数据序列越相关。在MATLAB中计算两组数据序列之间相关系数的函数是corrcoef()。corrcoef函数有两种调用格式：
- corrcoef(A)：返回由矩阵A所形成的的一个相关系数矩阵。其中，第i行第j列的元素表示原矩阵A中第i列与第j列之间的相关系数。
- corrcoef(X,Y)：这里的X,Y是向量。它们与corrcoef([X,Y])的作用一样，用于求向量X,Y之间的相关系数。
6. 排序
在MATLAB中采用函数sort()对向量或矩阵进行排序。调用格式如下：
- sort(X)：对向量X按升序排序。
- [Y, I] = sort(A, dim, mode)：其中，dim指明对矩阵A的列还是行进行排序。mode指明按升序还是降序进行排序，若取'ascend'，则按升序排序，若取'descend'，则按降序排序，默认情况下，采用升序排序。输出参数中，Y是排序后的矩阵，而I记录了Y中的元素在A中的位置。
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二 多项式计算
1. 多项式的表示
2. 多项式的四则运算
加减运算直接用系数向量做加减。乘法用函数conv()，除法采用函数deconv()。用时具体查。
3. 多项式的求导
4.多项式的求值
采用的函数如下：
- polyval(p,x)：代数多项式求值。
- polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值。
polyval(p,x)中，p为多项式系数向量，x可以是标量，向量或矩阵。若x是标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
polyvalm(p,x)要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。（这里需要理解以方阵为自变量的意思）
当x是方阵时，polyvalm(p,x)与polyval(p,x)的含义是不同的。polyval(p,x)是对方阵x中每个元素求多项式的值；而polyvalm(p,x)不同。例如：设x是方阵，p代表多项式x³-5x²+8，那么polyvalm(p,x)的含义是x*x*x-5*x*x+8*eye(size(x))；而polyval(p,x)的含义是x.*x.*x-5*x.*x+8*ones(size(x))。
5. 多项式求根
采用函数roots(p)，其中p是多项式的系数向量。若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：p=poly(x)。
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三 数据插值
数据插值可以根据有限个点的取值状况，合理估算出附近其他点的取值，从而节约大量的实验和测试资源，节省大量的人力，物力和财力。
interp1()：一维插值函数。
其调用格式：Y1=interp1(X, Y, X1, method)，根据X, Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X, Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。输出参数Y1是一个与X1等长的插值结果。method表示某种特定的插值方法，method取值不同，所得到的结果也不同。method常用的取值有以下4种：
- linear：线性插值，这是默认的方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
- nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。如果插值点与前后两点距离相等，则选择后一个样本点的值作为插值数据。
- pchip：分段3次埃米尔特插值。采用分段3次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
- spline：3次样条插值。每个分段内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
为什么这两种插值方法都用3次多项式而不使用更高次的多项式？
因为多项式次数并非越高越好。次数越高，越容易产生震荡而偏离原函数，这种现象称为龙格(Runge)现象。
interp2()：二维插值函数。
其调用格式：Z1=interp2(X, Y, Z, X1, Y1, method)，其中，X, Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1, Y1是两个标量或者向量，表示要插值的点。二维插值函数中的method除了不能使用pchip插值以外，其余的与一维插值函数相同。
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四 曲线拟合
一般是采用多项式函数做逼近函数，根据最小二乘法计算最小误差。
在MATLAB中用于多项式拟合的函数是polyfit函数，该函数的功能是求得最小二乘拟合多项式的系数，polyfit函数有3种调用格式：
- P=polyfit(X, Y, m)
- [P, S]=polyfit(X, Y, m)
- [P, S, mu]=polyfit(X, Y, m)
根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，mu(2)是std(X)。
曲线拟合的三个功能：估算数据、预测趋势、总结规律。
举例1
首先，绘制该股票数据的散点图，可以看出：数据点跳动幅度大，不稳定，难以看出规律。
close; clear; clc;
x = [2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, ...
17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 30]; % 交易日
y = [7.74, 7.84, 7.82, 7.78, 7.91, 7.97, 7.9, ...
7.76, 7.9, 8.04, 8.06, 8.11, 8.08, 8.13, ...
8.03, 8.01, 8.06, 8.0, 8.3, 8.41, 8.28];
figure('Name', '图1');
plot(x, y, '*'); 
继续输入命令，进行多项式拟合，选择常用的3次多项式，再绘制散点与拟合曲线图。
p = polyfit(x, y, 3);
plot(x, y, '*', x, polyval(p, x)); 
预测未来3个交易日的股票数据。
x1 = [x, 31, 32, 33];
plot(x, y, '*', x1, polyval(p, x1)); 数据插值与曲线拟合的比较
相同点：
- 都属于函数逼近方法。
- 都能根据有限的离散样本数据，去估算其他数据。
不同点：
- 实现方法不同。数据插值要求逼近函数经过样本点，曲线拟合不要求逼近函数经过样本点，只要求总体误差最小。
- 结果形式不同。数据插值没有统一的逼近函数，曲线拟合用一个函数进行整体逼近，有确定的函数表达式。
- 侧重点不同。数据插值一般是估算区间内的插值点数据，曲线拟合不仅可以估算区间内插值点的数据，还可以估算区间外的插值点数据。
- 应用场合不同。如果样本数据为精确数据，适合采用数据插值的方法；如果样本数据为统计数据或存在误差，则适合采用曲线拟合的方法。