『数据结构』红黑树(red-black tree)

1. 定义与性质

红黑树是一种平衡的二叉查找树

1.1. 数据域

每个结点有 5 个数据域
* color: red or black
* key: keyword
* left: pointer to left child
* right:pointer to right child
* p: pointer to nil leaf

1.2. 红黑性质

满足下面的 红黑性质 的二叉查找树就是红黑树:
* 每个结点或是红色或是黑色
* 根是黑
* nil leaf 是 黑
* 红结点的孩子是黑
* 从每个结点出发, 通过子孙到达叶子结点的各条路径上 黑结点数相等

如, 叶子结点 是 nil, 即不存储任何东西, 为了编程方便, 相对的, 存有数据的结点称为内结点

为了节省空间, 可以如下实现, 只需要一个 nil 结点

1.3. 黑高度

从某个结点 x 到叶结点的黑色结点数, 称为此结点的黑高度, 记为 $h_b(x)$
树的黑高度是根的黑高度

1. 以 x 为 根的子树至少包含 $2^{h_b(x)}-1$ 个结点
2. 一颗有 n 个内结点的红黑树高度至多为 $2lg(n+1)$

可用归纳法证明 1
证明 2:
设树高 h
由红黑性质 4, 根结点到叶子路径上的黑结点数至少 $\frac{h}{2}$, 即 $h_b(root)\geqslant \frac{h}{2}$
再由 1,

$$n \geqslant 2^{h_b(x)} -1 \geqslant 2^{\frac{h}{2}} -1$$

即 $h\leqslant 2lg(n+1)$

2. 旋转

由于上面证明的红黑树高为 $O(logn)$, 红黑树的 insert, delete, search 等操作都是, $O(logn)$.
进行了 insert, delete 后可能破坏红黑性质, 可以通过旋转来保持.

下面是对结点 x 进行 左旋与右旋.
注意进行左旋时, 右孩子不是 nil(要用来作为旋转后 x 的双亲), 同理 右旋的结点的左孩子不是 nil

总结起来就是: 父亲旋转, 顺时针就是右旋, 逆时针就是左旋, 旋转的结果是儿子成为原来父亲的新父亲, 即旋转的结点下降一层, 它的一个儿子上升一层.

3. 插入

插入的过程:
* 先同二叉查找树那样插入, 做为叶子 (不为空)
* 然后将新结点的 左右孩子设为 nil , 颜色设为红色
* 最后再进行颜色调整以及旋转 (维持红黑性质)

这是算法导论 1 上的算法

RB-INSERT(T, z)  
 y ← nil[T]                        // 新建节点“y”，将y设为空节点。
 x ← root[T]                       // 设“红黑树T”的根节点为“x”
 while x ≠ nil[T]                  // 找出要插入的节点“z”在二叉树T中的位置“y”
     do y ← x                      
        if key[z] < key[x]  
           then x ← left[x]  
           else x ← right[x]  
 p[z] ← y                          // 设置 “z的父亲” 为 “y”
 if y = nil[T]                     
    then root[T] ← z               // 情况1：若y是空节点，则将z设为根
    else if key[z] < key[y]        
            then left[y] ← z       // 情况2：若“z所包含的值” < “y所包含的值”，则将z设为“y的左孩子”
            else right[y] ← z      // 情况3：(“z所包含的值” >= “y所包含的值”)将z设为“y的右孩子” 
 left[z] ← nil[T]                  // z的左孩子设为空
 right[z] ← nil[T]                 // z的右孩子设为空。至此，已经完成将“节点z插入到二叉树”中了。
 color[z] ← RED                    // 将z着色为“红色”
 RB-INSERT-FIXUP(T, z)             // 通过RB-INSERT-FIXUP对红黑树的节点进行颜色修改以及旋转，让树T仍然是一颗红黑树

3.1. 二叉查找树的插入

可以用 python 实现如下

    def insert(self,nd):
        if  not isinstance(nd,node):
            nd = node(nd)
        elif nd.isBlack: nd.isBlack = False

        if self.root is None:
            self.root = nd
            self.root.isBlack = True
        else:
            parent = self.root
            while parent:
                if parent == nd : return None
                if parent>nd:
                    if parent.left :
                        parent = parent.left
                    else:
                        parent.left  = nd
                        break
                else:
                    if parent.right:
                        parent = parent.right
                    else:
                        parent.right = nd
                        break
            self.fixUpInsert(parent,nd)

3.2. 颜色调整与旋转

3.2.1. 问题

在插入后, 可以发现后破坏的红黑性质只有以下两条 (且互斥)

1. root 是红 (这可以直接将 root 颜色设为黑调整)
2. 红结点的孩子是黑

所以下面介绍如何保持 红结点的孩子是黑 , 即插入结点的双亲结点是红的情况.

下面记 结点 x 的 双亲为 p(x), 新插入的结点为 x, 记 uncle 结点 为 u(x)

由于 p(x) 是红色, 而根结点是黑色, 所以 p(x) 不是根, p(p(x)) 存在

3.2.2. 情况

有如下三种情况

每种情况的解决方案如下

3.2.2.1. case1: x 的叔叔是红色的

这里只需改变颜色, 将 p(x) 变为 黑, p(p(x)) 变为红, u(x) 变为黑色 (x 为右孩子同样)

3.2.2.2. case2: x 的叔叔是黑色, x,p(x), p(p(x)), 方向为 left-right 或者 right-left

即 x,p(x), p(p(x)) 成折线状

3.2.2.3. case3: x 的叔叔是黑色, x,p(x), p(p(x)), 方向为 left-left 或者 right-right

即 x,p(x), p(p(x)) 成直线状

当 x 为右孩子时, 通过旋转变成 p(x) 的双亲, 然后相当于 新插入 p(x) 作为左孩子, 再进行转换.

即将新结点的双亲向上一层旋转, 颜色变为黑色, 而新节点的祖父向下一层, 颜色变为红色

3.2.3. 总体解决方案

我最开始也没有弄清楚, 有点绕晕的感觉, 后来仔细读了书上伪代码, 然后才发现就是一个状态机, 画出来就一目了然了.

现在算是知其然了, 那么怎样知其所以然呢? 即 为什么要分类这三个 case, 不重不漏了吗?

其实也简单, 只是太繁琐.
就是将各种情况枚举出来, 一一分析即可. 我最开始试过, 但是太多, 写在代码里很容易写着写着就混了.
而算法导论上分成这三个 case , 很简洁, 只是归纳了一下而已. 如果想看看枚举情况的图与说明, 可以参考 2 .

算法导论上的伪代码

RB-INSERT-FIXUP(T, z)
while color[p[z]] = RED                                                  // 若“当前节点(z)的父节点是红色”，则进行以下处理。
    do if p[z] = left[p[p[z]]]                                           // 若“z的父节点”是“z的祖父节点的左孩子”，则进行以下处理。
          then y ← right[p[p[z]]]                                        // 将y设置为“z的叔叔节点(z的祖父节点的右孩子)”
               if color[y] = RED                                         // Case 1条件：叔叔是红色
                  then color[p[z]] ← BLACK                    ▹ Case 1   //  (01) 将“父节点”设为黑色。
                       color[y] ← BLACK                       ▹ Case 1   //  (02) 将“叔叔节点”设为黑色。
                       color[p[p[z]]] ← RED                   ▹ Case 1   //  (03) 将“祖父节点”设为“红色”。
                       z ← p[p[z]]                            ▹ Case 1   //  (04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)
                  else if z = right[p[z]]                                // Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子
                          then z ← p[z]                       ▹ Case 2   //  (01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。
                               LEFT-ROTATE(T, z)              ▹ Case 2   //  (02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。
                          color[p[z]] ← BLACK                 ▹ Case 3   // Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。(01) 将“父节点”设为“黑色”。
                          color[p[p[z]]] ← RED                ▹ Case 3   //  (02) 将“祖父节点”设为“红色”。
                          RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]])            ▹ Case 3   //  (03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。
       else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)      // 若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。
color[root[T]] ← BLACK

我用 python 实现如下. 由于左右方向不同, 如果向上面伪代码那样实现, fixup 代码就会有两份类似的 (即 right left 互换), 为了减少代码冗余, 我就定义了 setChild, getChild 函数, 传递左或是右孩子这个方向的数据 (代码中是 isLeft), 所以下面的就是完整功能的 fixup, 可以减少一般的代码量, haha��,
(下文 删除结点同理)

其实阅读代码也简单, 可以直接当成 isLeft 取真值.

    def fixUpInsert(self,parent,nd):
        ''' adjust color and level,  there are two red nodes: the new one and its parent'''
        while not self.checkBlack(parent):
            grand = self.getParent(parent)
            isLeftPrt = grand.left is parent 
            uncle = grand.getChild(not isLeftPrt)
            if not self.checkBlack(uncle):
                # case 1:  new node's uncle is red
                self.setBlack(grand, False)
                self.setBlack(grand.left, True)
                self.setBlack(grand.right, True)
                nd = grand
                parent = self.getParent(nd)
            else:
                # case 2: new node's uncle is black(including nil leaf)
                isLeftNode = parent.left is nd
                if isLeftNode ^ isLeftPrt:
                    # case 2.1 the new node is inserted in left-right or right-left form
                    #         grand               grand
                    #     parent        or            parent
                    #          nd                   nd
                    parent.setChild(nd.getChild(isLeftPrt),not isLeftPrt)
                    nd.setChild(parent,isLeftPrt)
                    grand.setChild(nd,isLeftPrt)
                    nd,parent = parent,nd
                # case 2.2 the new node is inserted in left-left or right-right form
                #         grand               grand
                #      parent        or            parent
                #     nd                                nd
                grand.setChild(parent.getChild(not isLeftPrt),isLeftPrt)
                parent.setChild(grand,not isLeftPrt)
                self.setBlack(grand, False)
                self.setBlack(parent, True)
                self.transferParent(grand,parent)
        self.setBlack(self.root,True)

4. 删除

算法导论上的算法

写的很简练��

4.1. 二叉查找树删除结点

下面 z 是要删除的结点, y 是 其后继或者是它自己, x 是 y 的一个孩子 (如果 y 的孩子为 nil, 则为 nli, 否则 y 只有一个非 nil 孩子, 为 x)

• 当 z 孩子全是 nil (y==z): 直接让其双亲对应的孩子为 nil
• 当 z 只有一个非 nil 孩子 x (y==z):
  
  1. 如果 z 为根, 则让 x 为根.
  2. 让 y 的双亲连接到 x
• 当 z 有两个非 nil 孩子 (y!=z): 复制其后继 y 的内容到 z (除了指针, 颜色) , 将其后继 y 的孩子 (最多只有一个 非 nil , 不然就不是后继了) 连接到其后继的双亲, 删除 其后继 y,

即 [^3] 如果要删除有两个孩子的结点 z , 则找到它的后继 y(前趋同理), 可以推断 y 一定没有左孩子, 右孩子可能有, 可能没有. 也就是最多一个孩子.
所以将 y 的值复制到 x 位置, 现在相当于删除 y 处的结点.
这样就化为 删除的结点最多一个孩子的情况.

4.2. 调整颜色与旋转

可以发现只有当 y 是黑色, 才进行颜色调整以及旋转 (维持红黑性质), 因为如果删除的是红色, 不会影响黑高度, 所有红黑性质都不会破坏
伪代码如下, (我的 python 代码见文末)

如果被删除的结点 y 是黑色的, 有三种破坏红黑性质的情况
1. y 是根, 则 y 的一个红色孩子成为新根
2. 进行删除结点过程中, p(y) 的孩子有 x, 两者都是红色
3. 删除 y 导致包含 y 的路径上的黑结点 少 1 个

修复 3 的思路:
如果可能, 在兄弟一支, 通过旋转, 改变颜色修复
否则, 将红结点一直向上推 (因为当前路径上少了一个黑结点, 向上推的过程中使红结点所在的子树都少一个黑结点), 直到到达树根, 那么全部路径都少一个黑结点, 3 就修复了, 这时只需将根设为黑就修复了 1

代码中的 while 循环的目的是将额外的黑色沿树上移, 直到
* x 指向一个红黑结点
* x 指向根, 这时可以简单地消除额外的黑色
* 颜色修改与旋转

在 while 中, x 总是指向具有双重黑色的那个非根结点, 在第 2 行中要判断 x 是其双亲的左右孩子
w 表示 x 的相抵. w 不能为 nil(因为 x 是双重黑色)

算法中的四种情况如图所示

即
* x 的兄弟 w 是红色的

* x 的兄弟 w 是黑色的, w 的两个孩子都是黑色的

• x 的兄弟 w 是黑色的, w 的左孩子是红, 右孩子是黑
• x 的兄弟 w 是黑色的, w 的孩子是红色的

注意上面都是先考虑的左边, 右边可以对称地处理.

同插入一样, 为了便于理解, 可以作出状态机.
而且这些情形都是归纳化简了的, 你也可以枚举列出基本的全部情形.

5. 数据结构的扩张

5.1. 平衡树的扩张

通过在平衡树 (如红黑树上的每个结点 加上 一个数据域 size (表示以此结点为根的子树的结点数.) 可以使获得第 i 大的数 的时间复杂度为 $O(logn)$

在 $O(n)$ 时间内建立, python 代码如下

def setSize(root):
    if root is None:return 0
    root.size = setSize(root.left) + setSize(root.right)+1

在 $O(logn)$ 时间查找,

def find(root,i):
    r =  root.left.size +1
    if r==i:
        return root
    if r > i:
        return find(root.left,i)
    else:
        return find(root.right,i-r)

6. python 代码

github 地址

我用了 setChild, getChild 来简化代码量, 其他的基本上是按照算法导论上的伪代码提到的 case 来实现的. 然后 display 只是测试的时候, 为了方便调试而层序遍历打印出来

效果如下

'''
#########################################################################
# File : redBlackTree.py
# Author: mbinary
# Mail: [email protected]
# Blog: https://mbinary.coding.me
# Github: https://github.com/mbinary
# Created Time: 2018-07-12  20:34
# Description: 
#########################################################################
'''
from functools import total_ordering
from random import randint, shuffle

@total_ordering
class node:
    def __init__(self,val,left=None,right=None,isBlack=False):
        self.val =val
        self.left = left
        self.right = right
        self.isBlack  = isBlack
    def __lt__(self,nd):
        return self.val < nd.val
    def __eq__(self,nd):
        return nd is not None and self.val == nd.val
    def setChild(self,nd,isLeft = True):
        if isLeft: self.left = nd
        else: self.right = nd
    def getChild(self,isLeft):
        if isLeft: return self.left
        else: return self.right
    def __bool__(self):
        return self.val is not None
    def __str__(self):
        color = 'B' if self.isBlack else 'R'
        return f'{color}-{self.val:}'
    def __repr__(self):
        return f'node({self.val},isBlack={self.isBlack})'
class redBlackTree:
    def __init__(self,unique=False):
        '''if unique is True, all node'vals are unique, else there may be equal vals'''
        self.root = None
        self.unique = unique

    @staticmethod
    def checkBlack(nd):
        return nd is None or nd.isBlack
    @staticmethod
    def setBlack(nd,isBlack):
        if nd is not None:
            if isBlack is None or isBlack:
                nd.isBlack = True
            else:nd.isBlack = False
    def sort(self,reverse = False):
        ''' return a generator of sorted data'''
        def inOrder(root):
            if root is None:return
            if reverse:
                yield from inOrder(root.right)
            else:
                yield from inOrder(root.left)
            yield root
            if reverse:
                yield from inOrder(root.left)
            else:
                yield from inOrder(root.right)
        yield from inOrder(self.root)
    def getParent(self,chd):
        '''note that use is to find real node when different nodes have euqiv val'''
        if self.root is chd:return None
        nd = self.root
        while nd:
            if nd>chd and  nd.left is not None:
                if nd.left is  chd: return nd
                else: nd = nd.left
            elif nd<chd and  nd.right is not None:
                if nd.right is  chd: return nd
                else: nd = nd.right
    def find(self,val):
        nd = self.root
        while nd:
            if nd.val ==val:
                return nd
            elif nd.val>val:
                nd = nd.left
            else:
                nd = nd.right
    def getSuccessor(self,nd):
        if nd:
            if nd.right:
                nd = nd.right
                while nd.left:
                    nd = nd.left
                return nd
            else:return self.getParent(nd)
    def transferParent(self,origin,new):
        if origin is  self.root:
            self.root = new
        else:
            prt = self.getParent(origin)
            prt.setChild(new, prt.left is origin)

    def insert(self,nd):
        if  not isinstance(nd,node):
            nd = node(nd)
        elif nd.isBlack: nd.isBlack = False

        if self.root is None:
            self.root = nd
            self.root.isBlack = True
        else:
            parent = self.root
            while parent:
                if parent == nd : return None
                if parent>nd:
                    if parent.left :
                        parent = parent.left
                    else:
                        parent.left  = nd
                        break
                else:
                    if parent.right:
                        parent = parent.right
                    else:
                        parent.right = nd
                        break
            self.fixUpInsert(parent,nd)
    def fixUpInsert(self,parent,nd):
        ''' adjust color and level,  there are two red nodes: the new one and its parent'''
        while not self.checkBlack(parent):
            grand = self.getParent(parent)
            isLeftPrt = grand.left is parent 
            uncle = grand.getChild(not isLeftPrt)
            if not self.checkBlack(uncle):
                # case 1:  new node's uncle is red
                self.setBlack(grand, False)
                self.setBlack(grand.left, True)
                self.setBlack(grand.right, True)
                nd = grand
                parent = self.getParent(nd)
            else:
                # case 2: new node's uncle is black(including nil leaf)
                isLeftNode = parent.left is nd
                if isLeftNode ^ isLeftPrt:
                    # case 2.1 the new node is inserted in left-right or right-left form
                    #         grand               grand
                    #     parent        or            parent
                    #          nd                   nd
                    parent.setChild(nd.getChild(isLeftPrt),not isLeftPrt)
                    nd.setChild(parent,isLeftPrt)
                    grand.setChild(nd,isLeftPrt)
                    nd,parent = parent,nd
                # case 2.2 the new node is inserted in left-left or right-right form
                #         grand               grand
                #      parent        or            parent
                #     nd                                nd
                grand.setChild(parent.getChild(not isLeftPrt),isLeftPrt)
                parent.setChild(grand,not isLeftPrt)
                self.setBlack(grand, False)
                self.setBlack(parent, True)
                self.transferParent(grand,parent)
        self.setBlack(self.root,True)

    def copyNode(self,src,des):
        '''when deleting a node which has two kids, 
            copy its succesor's data to his position
            data exclude left, right , isBlack
        '''
        des.val = src.val
    def delete(self,nd):
        '''delete node in a binary search tree'''
        if not isinstance(nd,node):
            nd = self.find(nd)
        if nd is None: return
        y = None
        if nd.left and nd.right:
            y= self.getSuccessor(nd)
        else:
            y = nd
        py = self.getParent(y)
        x = y.left if y.left else y.right
        if py is None:
            self.root = x
        elif y is py.left:
            py.left = x
        else:
            py.right = x
        if y != nd:
            self.copyNode(y,nd)

        if self.checkBlack(y): self.fixUpDel(py,x)


    def fixUpDel(self,prt,chd):
        ''' adjust colors and rotate '''
        while self.root != chd and self.checkBlack(chd):
            isLeft = prt.left is  chd 
            brother = prt.getChild(not isLeft)
            # brother is black
            lb = self.checkBlack(brother.getChild(isLeft))
            rb = self.checkBlack(brother.getChild(not isLeft))
            if  not self.checkBlack(brother):
                # case 1: brother is red.   converted to  case 2,3,4
                # prt (isLeft) rotate
                prt.setChild(brother.getChild(isLeft), not isLeft)
                brother.setChild(prt, isLeft)

                self.setBlack(prt,False)
                self.setBlack(brother,True)

                self.transferParent(prt,brother)
            elif lb and rb: 
                # case 2: brother is black and two kids are black. 
                # conveted to the begin case
                self.setBlack(brother,False)
                chd = prt
                prt = self.getParent(chd)
            else:
                if  rb:
                    # case 3: brother is black and left kid is red and right child is black
                    # uncle's son is nephew, and niece for uncle's daughter
                    nephew = brother.getChild(isLeft)
                    self.setBlack(nephew,True)
                    self.setBlack(brother,False)

                    # brother (not isLeft) rotate
                    prt.setChild(nephew,not isLeft)
                    brother.setChild(nephew.getChild(not isLeft),isLeft)
                    nephew.setChild(brother, not isLeft)
                    brother = nephew

                # case 4: brother is black and right child is red
                brother.isBlack = prt.isBlack
                self.setBlack(prt,True)
                self.setBlack(brother.getChild(not isLeft),True)

                # prt left rotate
                prt.setChild(brother.getChild(isLeft),not isLeft)
                brother.setChild(prt,isLeft)

                self.transferParent(prt,brother)

                chd = self.root
        self.setBlack(chd,True)


    def display(self):
        def getHeight(nd):
            if nd is None:return 0
            return max(getHeight(nd.left),getHeight(nd.right)) +1
        def levelVisit(root):
            from collections import deque
            lst = deque([root])
            level = []
            h = getHeight(root)
            ct = lv = 0
            while 1:
                ct+=1
                nd = lst.popleft()
                if ct >= 2**lv:
                    lv+=1
                    if lv>h:break
                    level.append([])
                level[-1].append(str(nd))
                if nd is not None:
                    lst += [nd.left,nd.right]
                else:
                    lst +=[None,None]
            return level
        def addBlank(lines):
            width = 5
            sep = ' '*width
            n = len(lines)
            for i,oneline in enumerate(lines):
                k  = 2**(n-i) -1
                new = [sep*((k-1)//2)]
                for s in oneline:
                    new.append(s.ljust(width))
                    new.append(sep*k)
                lines[i] = new
            return lines

        lines = levelVisit(self.root)
        lines = addBlank(lines)
        li = [''.join(line) for line in lines]
        li.insert(0,'red-black-tree'.rjust(48,'-')  + '-'*33)
        li.append('end'.rjust(42,'-')+'-'*39+'\n')
        return  '\n'.join(li)

    def __str__(self):
        return self.display()

测试代码

def genNum(n =10):
    nums =[]
    for i in range(n):
        while 1:
            d = randint(0,100)
            if d not in nums:
                nums.append(d)
                break
    return nums

def buildTree(n=10,nums=None,visitor=None):
    if nums is None or nums ==[]: nums = genNum(n)
    rbtree = redBlackTree()
    print(f'build a red-black tree using {nums}')
    for i in nums:
        rbtree.insert(i)
        if visitor:
            visitor(rbtree)
    return rbtree,nums
def testInsert():
    def visitor(t):
        print(t)
    rbtree,nums = buildTree(visitor = visitor)
    print('-'*5+ 'in-order visit' + '-'*5)
    for i,j in enumerate(rbtree.sort()):
        print(f'{i+1}: {j}')

def testSuc():
    rbtree,nums = buildTree()
    for i in rbtree.sort():
        print(f'{i}\'s suc is {rbtree.getSuccessor(i)}')

def testDelete():
    #nums = [2,3,3,2,6,7,2,1]
    nums = None
    rbtree,nums = buildTree(nums = nums)
    print(rbtree)
    for i in nums:
        print(f'deleting {i}')
        rbtree.delete(i)
        print(rbtree)

if __name__=='__main__':
    #testSuc()
    #testInsert()
    testDelete()

7. 参考

---

1. 算法导论 ↩
2. https://www.jianshu.com/p/a5514510f5b9?utm_campaign=maleskine&utm_content=note&utm_medium=seo_notes&utm_source=recommendation
   [^3]: https://www.jianshu.com/p/0b68b992f688?utm_campaign=maleskine&utm_content=note&utm_medium=seo_notes&utm_source=recommendation ↩