0x01 普遍形式
费马素数也叫费马质数。
其中 n 为非负整数。
0x02 历史
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:
可以看出,前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数。
由此提出(费马没给出证明),形如 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如 的数叫费马数。
1732年,欧拉算出第五个费马数 4294967297 = 641 × 6700417 不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式。
以后,人们又陆续找到了不少反例:
此后人们对更多的费马数进行了研究。
随着电子计算机的发展,计算机成为数学家研究费马数的有力工具。
但即使如此,在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。
迄今为止,费马素数除了被费马本人所证实的那五个外没有再发现一个。
实际上,几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个能求出所有质数的公式,但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在或者这样的公式存不存在,这也就成了一个著名的数学难题。
虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明了如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周K等分。高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形。