梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数 J(θ0,θ1) 的最小值。
梯度下降背后的思想是:开始时我们随机选择一个参数的组合(θ0,θ1,...,θn)，计算代价 函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到到 一个局部最小值(local minimum)，因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定 我们得到的局部最小值是否便是全局最小值(global minimum)，选择不同的初始参数组合， 可能会找到不同的局部最小值。
想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转 360 度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步 尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向?如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下 山?然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并 决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点 的位置。
批量梯度下降(batch gradient descent)算法的公式为:
其中 α 是学习率(learning rate)，它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。
在梯度下降算法中，还有一个更微妙的问题，梯度下降中，我们要更新 θ0 和 θ1 ，当 j=0 和 j=1 时，会产生更新，所以你将更新 Jθ0 和 Jθ1。实现梯度下降算法的微妙之处是，在这 个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新 θ0 和 θ1，我的意思是在这个等式中， 我们要这样更新:
θ0:= θ0 ，并更新 θ1:= θ1。实现方法是:你应该计算公式右边的部分，通过那一部分计算出 θ0 和 θ1 的值，然后同 时更新 θ0 和 θ1。
在梯度下降算法中，这是正确实现同时更新的方法。我不打算解释为什么你需要同时更 新，同时更新是梯度下降中的一种常用方法。我们之后会讲到，同步更新是更自然的实现方 法。当人们谈到梯度下降时，他们的意思就是同步更新。（注意：正确实现同步这句话的意思是说不要算出temp0后，更新 θ0；然后在算temp1，更新 θ1）
梯度下降的深入理解：
我们给出了一个数学上关于梯度下降的定义，我们更深入研 究一下，更直观地感受一下这个算法是做什么的，以及梯度下降算法的更新过程有什么意义。 梯度下降算法如下图:
描述:对 θ 赋值，使得 J(θ)按梯度下降最快方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最 小值。其中 α 是学习率(learning rate)，它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方 向向下迈出的步子有多大。
对于这个问题，求导的目的，基本上可以说取这个红点的切线，就是这样一条红色的直线，刚好与函数相切于这一点，让我们看看这条红色直线的斜率，就是这条刚好与函数曲线 相切的这条直线，这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度，现在，这条线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的 θ1，θ1 更新后等于 θ1 减去一 个正数乘以 α。
让我们来看看如果 α 太小或 α 太大会出现什么情况:
如果 α 太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动， 去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果 α 太小的话，可能会很慢 因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。如果 α 太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果 α 太大，它会导致无法收敛，甚至发散。 现在，我还有一个问题，如果我们预先把 θ1 放在一个局部的最低点，你认为下一步梯度下降法会怎样工作? 假设你将 θ1 初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。 结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优 点，它使得 θ1 不再改变，也就是新的 θ1 等于原来的 θ1，因此，如果你的参数已经处于局部 最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率 α 保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。
我们来看一个例子，这是代价函数 J(θ)。
我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个品红色的点初始化，如果 我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后 我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一 点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，θ1 更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发 现，已经收敛到局部极小值。
回顾一下，在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是 梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小 α。这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数 J，不只是线性回归中的代价 函数 J。
在接下来的随笔中，我们要用代价函数 J，回到它的本质，线性回归中的代价函数。也就是我们前面得出的平方误差函数，结合梯度下降法，以及平方代价函数，我们会得出第一个机器学习算法，即线性回归算法