一、高斯求和
1+2+3+...+100的值是多少？
1、高斯的解答
1+2+3+...+100的计算结果和100+99+98+...+1的计算结果是一样的，那么就可以将这两串数字进行纵向相加，如下：
| 1+ | 2+ | 3+ | ... | +100 | |
| + | 100+ | 99+ | 98+ | ... | +1 |
| 101+ | 101+ | 101+ | ... | +101 | |
| 有100个101 |
101*100=10100/2=5050
2、归纳
高斯使用了以下等式
如果使用变量n，将“1到100”归纳为“1到n”，这样上面的等式变为如下形式
那么这个等式对于0以上的任意整数n都成立吗？如果成立该如何证明呢？这时就需要用到数学归纳法了。
二、数学归纳法
1、0以上整数的断言
例1：
▶ 断言A(n)：n×2为偶数
如果n为0，A(0)的结果是0，为偶数；
如果n为1，A(1)的结果是2，为偶数；
如果n为2，A(2)的结果是4，为偶数；
因为0以上的任意数乘以2结果都为偶数，所以对0以上的所有整数，断言A(n)为真。
例2：
▶ 断言B(n)：n×3为奇数
如果n为0，B(0)的结果是0，为偶数；
如果n为1，B(1)的结果是3，为奇数；
如果n为2，B(2)的结果是6，为偶数；
n=2是推翻“断言B(n)对于0以上的所有整数n都成立”的反例。
所以断言B(n)不为真，为假。
2、高斯断言
▶ 断言G(n)：0到n的整数之和为
3、什么是数学归纳法
数学归纳法是证明有关整数的断言对于0以上的所有整数是否成立时所用的方法。
假设现在要用数学归纳法来证明“断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立”，则证明步骤如下：
● 步骤1
证明“P(0)成立”；
● 步骤2
证明n不论为0以上的哪个整数，“若P(n)成立，则P(n+1)也成立”。
在上面的证明步骤中，我们将步骤1称为基底，步骤2称为归纳。如果步骤1和步骤2都能得到证明，就证明了“断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立”。
4、用数学归纳法证明高斯断言
● 步骤1：证明基底成立
证明G(0)成立。
G(0)就是“0到0的整数之和与0*(0+1)/2”相等；
可以直接通过计算证明，0到0的整数之和为0，0*(0+1)/2的结果也是0；
步骤1证明完毕。
● 步骤2：归纳的证明
证明n为0以上的任一整数时，“若G(n)成立，则G(n+1)也成立”。
先假设G(n)成立，这时，以下等式成立：
假设成立的等式G(n)
要证明的等式G(n+1)
现进行如下计算：
G(n+1)左边和右边的计算结果相同
由此，G(n)到G(n+1)的推导成功，步骤2得到了证明。
至此，通过数学归纳法的步骤1、步骤2都证明了G(n)，也就是说通过数学归纳法证明了断言G(n)对于0以上的任意整数n都成立。