关于初级动态规划（dp的背包问题）的理解和题目加解析~~（我要成为一个dp选手.jpg）

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。

-----百度百科；

DP全称是dynamic programming，这里programming不是编程，是一个表格保存之前的结果。

DP 是一种编程思想，主要用于解决最优解类型的问题。

其思路是为了求解当前的问题的最优解，使用子问题的最优解，然后综合处理，最终得到原问题的最优解。

要注意dp的两个原理：

（1）动态规划的最优化原理：

作为整个过程的最优策略具有：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略的性质。也可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，而非最优解对问题的求解没有影响。

（2）动态规划的无后效性原则：

所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整的总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。

即：一个问题被划分成各个阶段之后，阶段K中的状态只能由阶段K+1中的状态通过状态转移方程得来，与其它状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系。

简而言之dp是一种没有固定形式，只有固定思路想法的，就想A*算法一样，需要根据现实问题而变化。

这样我们来根据题目来学习下。

（1）sdnu 1033

1033.采药

Time Limit: 1000 MS Memory Limit: 32768 KB
Total Submission(s): 578 Accepted Submission(s): 198

Description

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

Input

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间（1 <= t <= T）和这株草药的价值（1 <= v <= 100000）。

Output

输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

Sample Input

Sample Output

Source

NOIP 2005 普及组

这就是一道摸板题~正好用来梳理一下我们的思路~这里我们可以用数组ma[k]来表示在时间使用量为k时，此时我们能够取得的最大利益是多少~这样的话对于另一种方向上来看，我们如果要拿第s个物品~那么对于任意的ma[k]如果存在ma[k-we[s]]+v[s]>ma[k]的情况 ~~即在此刻，拿这个物品并使此时总使用时间为k时的利益，是比之前我们找到的最大利益要大的~~那么此时我们就更新此时的ma[k]的值就好~~。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int ma[1005];
int tim[105],v[105];
int main()
{
    memset(ma,0,sizeof(ma));
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int s=1;s<=n;s++)
    {
        cin>>tim[s]>>v[s];
    }
    for(int s=1;s<=n;s++)
    {
        for(int ti=m;ti>=tim[s];ti--)
        {
            if(ma[ti]<ma[ti-tim[s]]+v[s])
            {
                ma[ti]=ma[ti-tim[s]]+v[s];
            }
        }
    }
    cout<<ma[m]<<endl;
    return 0;
}

有人问道为什么这个时候ti要从m到tim[s]进行~~反向不好吗？这个时候你想想，假设在第一个时刻你加了这件物品，然后往后推得时候，你可能会再次用到拿没拿这件物品而产生的结果~~进而这就不是每个物品只有一个了~而是在使用范围内有不限制数量个，才能从前往后推~来让后面的处理考虑的之前的拿n个而产生的情况。

（2）1043

1043.采药2

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Total Submission(s): 347 Accepted Submission(s): 132

Description

XXX上山去采药。XXX有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。已知共有n(1<=n<=1000 )种药材，每种药材都有无限多，并且知道每种药材的重量w(1<=w<=m)及价值v(1<=v<=100000)，如何选择，才能使得采到的药材的总价值最大？

Input

第1行为两个整数m和n，分别为背包的容量及药材的种数。第2至n+1行每行两个整数w和v，分别表示每种药材的重量及价值。

Output

能采到的药材的最大总价值

Sample Input

Sample Output

这道题就是之前说的~~多件物品怎么处理。发核心代码

    for(int s=1;s<=n;s++)
    {
        for(int ti=tim[s];ti<=m;ti++)
        {
            if(ma[ti]<ma[ti-tim[s]]+v[s])
            {
                ma[ti]=ma[ti-tim[s]]+v[s];
            }
        }
    }

（3）sdnu1061

1061.采药3

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Total Submission(s): 97 Accepted Submission(s): 63

Description

XXX上山去采药。XXX有一个最大承重为m(1<=m<=100)且容积为t(1<= t<=100)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的最大承重且总体积不能大于背包的容积。已知共有n(1<=n<=1000)株药材，并且知道每株药材的重量w1(1<=w1<=m)、体积w2(1<=w2<=t)及价值v(1<=v<=100000)，如何选择，才能使得采到的药材的总价值最大？

Input

第1行为三个整数m、t和n，分别为背包的最大承重、容积及药材的数量。第2至n+1行每行三个整数w1、w2和v，分别表示每株药材的重量、体积及价值。

Output

能采到的药材的最大总价值

Sample Input

Sample Output

这是一个有两个限制条件的dp，这样的话我们ma[a][b]来表示重量为a,体积为b时的最大利益是多少~这样的话一化简就好了~就相当于把第一个方程加了重循环。（mw，mv分别表示背包最大承受重量和容量）

    for(int s=1;s<=n;s++)
    {
        for(int a=mw;a>=we[s];a--)
        {
            for(int b=mv;b>=vol[s];b--)
            {
                if(ma[a][b]<ma[a-we[s]][b-vol[s]]+v[s])
                {
                    ma[a][b]=ma[a-we[s]][b-vol[s]]+v[s];
                }
            }
        }
    }

（4）sdnu1077

1077.采药4

Time Limit: 1000 MS Memory Limit: 32768 KB
Total Submission(s): 116 Accepted Submission(s): 81

Description

XXX上山去采药。XXX有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。已知共有n(1<=n<=1000 )株药材，并且知道每株药材的重量w(1<=w<=m)，如何选择，才能使得背包剩余的容量最小？

Input

第一行为两个整数m和n，分别表示背包容量及药材数量，第二行n个整数，分别表示n株药材的重量。

Output

一个整数，背包最小剩余容量。

Sample Input

100 5
55 40 59 44 2

Sample Output

这道题他奇怪的地方是~他要求的不是最大利益，而是最小的空间剩余度，那么我们用ma[k]来表示能否用物品凑齐容量为k的空间。这样的话状态转移方程为 if(ma[w]&& !ma[w+we[s]]) ma[w+we[s]]=1;

这样的话我们在处理完之后从最大的m到0开始看，最先ma值为1的就是答案~

    for(int s=1;s<=n;s++)
    {
        for(int w=m-we[s];w>=0;w--)
        {
            if(ma[w]&&!ma[w+we[s]])
            {
                ma[w+we[s]]=1;
            }
        }
    }
    for(int s=m;s>=0;s--)
    {
        if(ma[s])
        {
            cout<<m-s<<endl;
            return 0;
        }
    }

（5）sdnu1520

1520.采药

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Description

SQK上山去采药。SQK有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。已知共有n(1<=n<=100 )种药材，每种药材都有自己的价值，并且知道每种药材的数量是有限的，如何选择，才能使得背包中药材价值最大？

Input

输入数据首先包含一个正整数C(1<=C<=10)，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数m和n(1<=m<=1000, 1<=n<=100),分别表背包的负重和药材的种类，然后是n行数据，每行包含3个数w，v和c(1<=w<=100,1<=v<=200,1<=c<=100)，分别表示每种药材的重量、每株的价值以及对应种类药材的株数。

Output

对于每组测试数据，请输出能够采集药材的最大价值，每个实例的输出占一行。

Sample Input

18 22 100 44 100 2

Sample Output

这道题其实跟第一题一样的~有n个同一个物体~跟有n个属性一样的物体~这两个表达有什么区别~~加一个循环就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int ma[1005];
int we[105],vi[105],sum[105];
int main()
{
    int te;
    cin>>te;
    while(te--)
    {
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        int m,n;
        cin>>m>>n;
        for(int s=1;s<=n;s++)
        {
            cin>>we[s]>>vi[s]>>sum[s];
        }
        for(int s=1;s<=n;s++)
        {
            for(int k=0;k<sum[s];k++)
            {
                for(int w=m;w>=we[s];w--)
                {
                    if(ma[w]<ma[w-we[s]]+vi[s])
                    {
                         ma[w]=ma[w-we[s]]+vi[s];
                    }
                }
            }
        }
        cout<<ma[m]<<endl;
    }
    return 0;
}