【CodeForces】【数学】988D Points and Powers of Two

CodeForces 988D Points and Powers of Two

题目

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题目大意

有一个$N(1\leq N\leq 2 \times 10^5)$个点的点集，我们要在这个点集中选出尽可能多的点，使任意两点间距离的绝对值是$2$的整数次幂。

思路

我们到底最多可以选多少个点呢？我们来推导一下：

1.只有一个点时：点集中没有可以和它作差的点，故此情况成立。

2.有两个点时：只要两点间距离为$2$的整数次幂，就可以成立。

3.有三个点时： 如下图：设$A,B,C$为满足要求的三点。其中，设$|AC|=2^{k_1},|BC|=2^{k_2},|AC|=2^d$

可得：$2^{k_1}+2^{k_2}=2^d$
不妨设$k_1\leq k_2$
则：$1+2^{k_2-k_1}=2^{d-k_1}$
整理可得：$2^{k_2-k_1} \times(2^{d-k_2}-1)=1$
由题意可知：$k_1\ge 0,k_2\ge 0,d\ge 0$
所以：$2^{k_2-k_1}> 0$且$2^{d-k_2}> 0$
所以：$k_2-k_1=0,d-k_2=1$
即：当三点间距离满足最长距离是较短距离的两倍且两较短距离相等时，点集中有三个点。

4.有三个以上的点时：设$A_1,A_2,A_3,A_4...A_m$为满足要求的点。
由上可知，所有三元组：$\{A_1,A_2,A_3\},\{A_1,A_2,A_4\},\{A_1,A_3,A_4\}...$都需要满足这个条件。
显然这是不可能的。
故此假设不成立。

以此类推，可得：满足条件的点集最多只有$3$个。

实现细节

我们可以使用map标记位于位置$i$的点是否存在于点集中。

正解代码

#include<map>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=2*1e5;
int N,P[Maxn+5];
map<int,bool> Is_p;

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    Init();
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++) {
        scanf("%d",&P[i]);
        Is_p[P[i]]=true;
    }
    sort(P+1,P+N+1);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=0;j<32;j++) {
            int x=1<<j;
            if(Is_p[P[i]+x]&&Is_p[P[i]+x*2]) {
                puts("3");
                printf("%d %d %d\n",P[i],P[i]+x,P[i]+x*2);
                return 0;
            }
        }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=0;j<32;j++) {
            int x=1<<j;
            if(Is_p[P[i]+x]) {
                puts("2");
                printf("%d %d\n",P[i],P[i]+x);
                return 0;
            }
        }
    printf("1\n%d\n",P[1]);
    return 0;
}