Codeforces 995F Cowmpany Cowmpensation 拉格朗日插值法

题意

有一棵树，现在要给每个节点赋一个在1到D之间的权值，问有多少种方案满足任意一个节点的权值都不大于其父亲的权值。
$n\le3000,D\le10^9$

分析

有一个十分显然的$O(nD)$的做法，但显然不能过。
有个结论就是，对于一棵n个节点的数，其答案一定是关于D的一个n次多项式。
这个可以通过归纳法来证明。
那么直接上拉格朗日插值法就做完了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=3005;
const int MOD=1000000007;

int n,m,cnt,last[N],f[N][N],ny[N];
struct edge{int to,next;}e[N];

void addedge(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
}

void dp(int x)
{
    for (int i=1;i<=n+1;i++) f[x][i]=1;
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
    {
        dp(e[i].to);
        int s=0;
        for (int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            (s+=f[e[i].to][j])%=MOD;
            f[x][j]=(LL)f[x][j]*s%MOD;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        addedge(x,i);
    }
    dp(1);
    for (int i=2;i<=n+1;i++) (f[1][i]+=f[1][i-1])%=MOD;
    if (m<=n+1) {printf("%d",f[1][m]);return 0;}
    ny[0]=ny[1]=1;
    for (int i=2;i<=n+1;i++) ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        int s=f[1][i];
        for (int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            if (i==j) continue;
            s=(LL)s*(m-j)%MOD*(i>j?ny[i-j]:MOD-ny[j-i])%MOD;
        }
        (ans+=s)%=MOD;
    }
    printf("%d",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}