Codeforce 622 F. The Sum of the k-th Powers（拉格朗日插值求k次幂之和，拉格朗日插值公式）

题目大意：求 $\displaystyle\sum_{i = 1}^ni^k$
求k次幂有多种求法，例如：
伯努利数求k次幂之和（待补）
斯特林数求k次幂之和
拉格朗日插值法求k次幂之和

这里采用拉格朗日插值法进行求解。
拉格朗日可以通过 $k + 1$ 个点唯一确定一个 $k$ 次多项式，它的公式为： $f(x) = \sum_{i = 1}^ny[i] \prod_{i \neq j}\frac{x - x[j]}{x[i]-x[j]}$
其中 $x[i],y[i]$对应已知的点值，对已知的点很容易通过代入验证正确性，带入 $x[i]$ 将会得到 $y[i]$

这个式子在一般情况下的复杂度为 $O(n^2)$，比高斯消元的 $n^3$ 更加优秀，在已知点的 $x$ 取值连续的情况下，复杂度能降低到 $O(n)$，只要预处理阶乘逆元，以及 $x$ 的 k + 1 项倒阶乘： $xfac$。
$f(x)=\sum_{i = 1}^ny[i]*\frac{xfac}{fac[i]*fac[n - i]*(x-i)}$

为什么这题可以用拉格朗日插值
当然是因为 $\displaystyle\sum_{i = 1}^ni^k$ 是一个以n为自变量的多项式，并且是 $k + 1$ 次多项式
证明：
令 $\displaystyle S(n,k)=\sum_{i = 1}^ni^k$
对这个序列两两差分可以得到： $(n + 1)^{k+1} - n^{k+1}=\sum_{i = 0}^{k+1}C(k+1,i)*n^i - n^{k+1}=\sum_{i = 0}^kC(k+1,i)*n^i$ $n^{k+1} - (n-1)^{k+1}=\sum_{i = 0}^{k}C(k+1,i)*(n-1)^i$ $...$ $1^{k+1}-0^{k+1}=\sum_{i = 0}^{k}C(k+1,i)0^i$

逐项求和可以得到 $\displaystyle (n+1)^{k+1} =\sum_{i=0}^kC(k+1,i)*S(n,k)$，即得到 $S(n,k)$是以 $n$ 为自变量的 $k + 1$ 次多项式

令 $f(x) = x^k$，可以得到一个更一般的推广结论： $k$ 次多项式的前 $n$ 项和 $g(n)$ 是一个以 $n$ 为自变量的 $k + 1$ 次多项式

回到这题，前 $k + 2$项可以 $k \log k$ 暴力计算，对 $n \leq k + 2$ 直接输出答案，对 $n > k + 2$ 只要插值一下，根据插值公式计算即可。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 100;
int n,k;
int x[maxn],y[maxn];				//拉格朗日差值的计算 
int fac[maxn],ifac[maxn];			//阶乘的逆元 
inline int add(int x, int y) {
  	x += y;
  	if (x >= mod)
    	x -= mod;
  	return x;
}

inline int sub(int x, int y) {
  	x -= y;
  	if (x < 0)
    	x += mod;
  	return x;
}

inline int mul(int x, int y) {
  	return (long long) x * y % mod;
}
int fpow(int a,int b) {
	int r = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) r = mul(r,a);
		b >>= 1;
		a = mul(a,a);
	}
	return r;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i = 1; i <= k + 2; i++) {			//暴力计算 k + 2 个点，根据这 k + 2个点就可以通过插值唯一确定 k + 1次多项式 
		x[i] = i;
		y[i] = add(y[i - 1],fpow(x[i],k));
	}
	if (n <= k + 2) {							//n <= k + 2就直接输出，否则下面的处理会出错 
		printf("%d\n",y[n]);
		return 0;
	}
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= k + 2; i++) {			//由于k+2个点x取值连续，预处理阶乘，使复杂度降低到O(k) 
		fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
	}
	ifac[k + 2] = fpow(fac[k + 2],mod - 2);
	for (int i = k + 1; i >= 0; i--) {
		ifac[i] = mul(ifac[i + 1],i + 1);
	}
	int tmp = 1;								//n的倒阶乘 ，同样也是为了加速 
	for (int i = 1; i <= k + 2; i++) {
		tmp = mul(tmp,(n - i) % mod);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= k + 2; i++) {			//插值迭代，得到 f(n) 
		int t = k + 2 - i;
		int p = (t & 1) ? -1 : 1;
		int inv = fpow((n - i) % mod,mod - 2);
		int res = mul(mul(ifac[i - 1],ifac[t]),mul(tmp,inv));
		res = mul(mul(res,p),y[i]);
		if (res < 0) res += mod;
		ans = add(ans,res);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}