以太坊椭圆曲线数字签名

本文主要描述椭圆曲线密码学及数字签名相关的理论。

椭圆曲线密码学

椭圆曲线密码学（ECC, Elliptic curve cryptography）是基于椭圆曲线数学的一种公钥加密方法。

什么是公钥加密方法

在如 DES、AES 这类对称密码系统中，信息的发送方使用一把密钥进行加密，接收方使用相同的密钥进行解密。
而在公钥加密方法中，信息的加密和解密使用的密钥是不同的，称之为公钥和私钥（注：既可以公钥加密私钥解密，也可以私钥加密公钥解密），常用的公钥加密方法有

• RSA - 基于大因数分解
• ECC - 基于椭圆曲线和离散对数

两者都基于数学上一种双向运算,但这种运算一个方向计算容易，反方向计算却十分困难。以RSA背后的因数大数分解理论为例：
笔算完成下面的等式：

$$373 * 751 = ？$$
如果你用笔在纸上画画 ，会发现这并不是很困难，那么如果是下面的等式呢？
$$280123 = ？ * ？$$
太困难了 ! 即使是使用计算器，我觉得也没有谁一时半会儿也算不出来。

答案是 $373 * 751 = 280123$ ，这就是RSA的理论基础，两个质数(素数)的乘积很容易计算，但要将一个这样的乘积分解回去就困难了。ECC采用的与之类似,不同的是它采用的是离散对数问题(DLP，Discrete Logarithm Problem)制造单向计算的困难(稍后有例子)。

什么是椭圆曲线

我们在中学课本里一定都学过椭圆的定义。如下图所示，

椭圆上的点都满足 $ax^2 + by^2= c \quad over \, \mathbb R$

而密码学中的椭圆曲线是满足以下等式的点组成的集合，

$$y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod p \quad x,y \in \Bbb Z_p$$
加上一个想象中的无穷远点