《矩阵论引论》田振际——P78-例3.6-矩阵的奇异值分解1

1 问题描述

奇异值分解涉及大量重复性计算，为了提高效率，将计算部分用Matlab实现，具体见代码：

2 程序及算例

clear
clc
disp('矩阵')
% format rat  %为了便于观察，可以采用分数形式，‘0’的分数形式是‘*’
% 例1
% A=[1 0 0;2 0 0];
% 例2
% A=[1 0;0 1;1 1]
%例3
% A=[1 0 1;0 1 1;1 1 2]
%例4
A=[1 0 1;0 1 1;0 0 0]
disp('可以求得,矩阵B=A^H*A,即')
B=A'*A
disp('B的特征值为：')
[X TZZ]=eig(B);
TZZ=eig(B)'
disp('特征值对应的特征向量依次为：')
X
Q1=[];
Q2=[];
for i=1:length(X)
    if TZZ(i)>0
        Q1=[Q1 X(:,i)];
    else
        Q2=[Q2 X(:,i)];
    end
end
disp('特征值大于0的特征向量集合：')
Q1
disp('特征值等于0的特征向量集合：')
Q2
disp('所以：')
Q=[Q1 Q2]
D=diag(sqrt((TZZ(TZZ>0))))
P1=A*Q1*inv(D)
disp('构造')
P2=ones(size(P1,1),1);
P=[P1 P2]
[H L]=size(A);
[h l]=size(D);
if l<L
    D(:,l+1:L)=0;
end
if h<H 
    D(h+1:H,:)=0
end
FJ_qy=P*D*Q'           %奇异值分解
A
format
wucha=max(max(FJ_qy-A))

3.奇异值分解计算过程

矩阵

A =

     1     0     1
     0     1     1
     0     0     0

可以求得,矩阵B=A^H*A,即

B =

     1     0     1
     0     1     1
     1     1     2

B的特征值为：

TZZ =

   -0.0000    1.0000    3.0000

特征值对应的特征向量依次为：

X =

    0.5774    0.7071    0.4082
    0.5774   -0.7071    0.4082
   -0.5774   -0.0000    0.8165

特征值大于0的特征向量集合：

Q1 =

    0.7071    0.4082
   -0.7071    0.4082
   -0.0000    0.8165

特征值等于0的特征向量集合：

Q2 =

    0.5774
    0.5774
   -0.5774

所以：

Q =

    0.7071    0.4082    0.5774
   -0.7071    0.4082    0.5774
   -0.0000    0.8165   -0.5774


D =

    1.0000         0
         0    1.7321


P1 =

    0.7071    0.7071
   -0.7071    0.7071
         0         0

构造

P =

    0.7071    0.7071    1.0000
   -0.7071    0.7071    1.0000
         0         0    1.0000


D =

    1.0000         0         0
         0    1.7321         0
         0         0         0


FJ_qy =

    1.0000    0.0000    1.0000
         0    1.0000    1.0000
         0         0         0


A =

     1     0     1
     0     1     1
     0     0     0


wucha =

   4.4409e-16

4 结论

程序科学有效，避免了大量的重复性计算，可以验证手工计算。