新专题<福州集训之旅>
啦啦啦新专题
csdn终于自带分割线啦
<更新提示>
<第一次更新>主要记录知识点和例题，不附带代码。
<正文>
枚举法
含义很简单，即将所有解一一列出来，利用了计算机运算速度快的特点，一一判断其可行性和最优性。同时，这也是OI界求解问题最基本的算法。
<例1>
填数游戏
ABC各代表一个1到9之间的数，确定ABC所有的可能性。
解析：在数学中，我们尝试用各种条件去推理ABC。但是ABC分别只是一个一位数，在OI中我们使用枚举发枚举每一种可能就能求出所有的答案。
<例2>
给定正整数A，B，L，试确定一个比例A’:B’，使得A’，B’互质，且满足A’,B’<=L, A‘/B’-A/B尽可能小。（1<=A,B<=1000000,1<=L<=100, A/B<=L）
解析：这道题看似是一道不简单的数学题，实际上很简单。利用L不大的特点，我们枚举所有分子分母小于L的分数即可。再和A/B比较，找出符合题意的最优解。关于分数的加减法就不成问题了吧。
<例3>
已知一个n*n的01矩阵你需要从中找到一个最大连续的子矩阵，该剧中内的所有元素都是1.
解析：这道题直接硬枚举的话，时间复杂度分别为（枚举左上点）O（n2）,（枚举右下点）O（n2）,（检查判断）O（n2），所以总复杂度为O（n6）,显然，这个巨大的指数级复杂度是无法接受的，即使对这种方案的优化也避免不了O（n4）的时间复杂度，所以我们需要改变思路。
为了确定一个子矩阵，我们需要确定他的4条边。但是，为了降低时间复杂度，我们可以确定矩阵的上下两条边，再使用一个数组Ci表示上下两条边限制范围内每一竖列是否为全1列，这样找全1矩阵的问题就化解为了找Ci中连续为1的子序列，相当于对目标降了一维，代码的实现就有了意义。时间复杂度又降到了O（n3），到了我们能够接受的范围中。
<例4>
[NOIP2016魔法阵]
有m件魔法物品，第I件的魔法值为正整数Xi<=n,一个魔法阵由编号a，b，c，d的4样物品构成，且满足两个条件：
1| Xa < Xb < Xc < Xd
2| 2(Xd - Xc)=Xb - Xa < (Xc - Xb)/3
你的任务就是计算每样物品作为某个魔法阵的ABCD物品分别出现了几次。
1<=n<=15000,1<=m<=40000
解析：首先一个魔法阵与物品的编号无关，又不会出现两种魔法值相同的物品，又因为魔法值不会超过15000，所以可以用数组t记录每种魔法值的物品有几个，并再t数组上分析问题。分析题目中的条件，使Xd - Xc=i,那么Xb - Xa=2i,且Xc - Xb > 6i,故Xd - Xa > 9i，所以我们得知Xb - Xa最多有n/9中不同的可能，所以我们考虑枚举i的值。接着，枚举b物品的魔法值，a物品的魔法值也随之确定。再利用c物品魔法值至少比b物品魔法值高6i+1，从6i+1开始，用部分和进行优化。记数组r[k]表示再当前i值的情况下，只取c，d物品，且c物品魔法值>=k的方案数，d物品的魔法值也随之确定了，那么这个值可以按下标从大到小再O（n）的时间内求出。继续枚举Xb，再当前i的情况下b物品出现的次数即为t[Xb-2i]*r[Xb+6i+1],Xa=Xb-2i,所以a物品出现的次数为[Xb]*r[Xb+6i+1]。类似于上述方法，同样用O（n）的时间求c，d物品的魔法值，所以整个算法的时间复杂度即为O（n/9）*O（n）=O（n2/9）,足以通过这道题。
小结
经过4道例题，我们可以总结出枚举法需要主要的特点：
保证最优解（或全部的解）能被枚举到；
枚举量不能过大；
对于枚举量的优化，我们可以通过减少或改变枚举对象，调整枚举顺序的方式。
DFS
显然，使用枚举法的情况要求对对象需要有比较清晰的结构和层次，当对于其他的枚举，for循环就不太行了。
所以我们就可以用到了DFS中的一种统一枚举方法——递归回溯法。它的思想是从某一步开始，先朝某个方向达到新状态，当搜索完新状态时，撤销这一步，并朝其他方向尝试，指导找到了结果或试完了所有可能。
<例1>
全排列输入正整数n，输出1到n这n个数字的全排列。
解析：大致递归回溯思想如下：
1 n个数是否已经填完，用一个形参记录。
2 一次顺序取数，直到取满，并用used数字记录是否已经使用过该数字。
3 继续递归构造数列。
4 还原used，尝试其他方案。
当然，全排列在c++中可以用next_permutation函数配合dowhile语句直接实现。
<例2>
给定n个城市，其中某些城市直接有直接的道路相连，现在给定两座城市S和T，寻找所有S到T直接不重复的路径。
解析：递归回溯的思想和全排列相似，具体如下：
1 判断是否到达了T城市，并进行输出或重复执行的操作。
2 记录：标记当前城市已经走到过。
3 依次递归尝试向深度搜索其他城市搜索。
4 回溯：令当前城市已经做到过的标记复原，返回上一层。
初始时对应S开始进行递归搜索。
<例3>
在一个n*m的局限里填入c中颜色，要求相邻两个格子的颜色不同。
解析：递归结构还是相同的，只需要保证相邻格子不冲突即可，按照c种颜色限制和颜色填充回溯搜索即可。
<例4>
给定4个1至13的正整数，运用四则运算得出24这个结果，输出所有方案。
解析：这是一道代码量较大，极其练手的题目，但是难度并不大，运用DFS和回溯的技巧对数进行运算，即每次从当前拥有的数中找到两个数并进行某种运算，再将结果放回数字集合中。DFS搜索的最后目标就是数字集合中只剩下24，为了还原每一步的操作，记录下运算即可。需要注意的事项是注意运算时产生的分数，合理储存，注意细节即可。
小结
这样，我们就能得出递归回溯的基本框架了：
1 判断当前状态是否为所要的状态，进行处理或回退。
2 再当前状态上枚举合法的方向，取一个未尝试过的方向，如果没有就退出。
3 沿改方向走一步，并记录改变状态。
4 再在新的状态上执行这个流程
5 回溯一步
<后记>
博客量越来越大了，希望以后能坚持。
<废话>
废话已经说不动了。