【算法学习】主席树入门

主席树入门

主席树，也叫做可持久化线段树，准确来说，应该叫做可持久化权值线段树，因为其中的每一颗树都是一颗权值线段树。

所谓权值线段树，就是指线段树的叶子节点保存的是当前值的个数。这样说起来比较抽象，下面用具体例子来简单阐述。

如有数列：2 1 2 5 1 1 1 3，不难统计出，数列中数字1出现了4次，数字2出现了2次，数字3、数字5都出现了1次，对于这个数列，我们可以说 $a[1] = 4, a[2] = 2, a[3] = 1, a[4] = 0, a[5] = 1$。如果放在权值线段树种，$a[i]$中的下标$i$不再是对应的数值，而是对应叶子节点的编号了。但是道理是一样的。

为了实现可持久化，就要保存树的历史版本。最自然的想法当然是每进行一次修改，就新建一颗线段树，这样的空间复杂度显然是不能够接受的。通过观察不难发现，每次进行单点修改，发生变化的只有从叶子节点到根节点这一条链上的节点，换句话说，只有$log_2n$个节点发生了变化，而其他的节点都可以重用，没有必要新建。所以有了如下的思路：

每次修改（或插入），新建一个根节点，并且向下递归的新建需要新建的节点。

对于上面这句话，稍作解释：

1. 新建根节点是必要的。首先是为了区分不同的版本，修改前是一个版本，修改后是另一个版本。如果做了修改，那么根节点的值一定发生了变化，也必须新建一个根节点。
2. 对于新建有不同的理解。自然想到的是去动态的开点，即new一个新的节点，这在ACM中并不是一个很方便的选择，使用不当会造成内存溢出等等问题。所以会选择根据题目的数据范围提前申请好对应变量。所以新建的含义也就变成了为对应的节点分配编号。这在代码中会有更好的体现。
3. 关于递归建树，具体实现的方案和普通的线段树很类似，即向左右两个区间递归。区别就在于，由于要用到上一个版本的线段树，如何利用的问题。刚才说过，我们去新建节点，其实就是为节点分配编号，那么问题也即是如何为新的节点分配编号。这里不展开，具体在代码部分进行详细的解释。

以上就是大概主席树的大致描述。下面详细的讲解主席树。

原理

对于主席树的原理，我觉得还是有必要详细的介绍一下。

按照刚才的说法，主席树的关键是对上一版本节点的复用，是如何复用的，下面以主席树经典问题，区间第K大问题来详细的表述。

区间第K大问题，即给定一个数列$a$，每次询问给定询问的区间$[l,r]$和想要得到的区间第$K$大，求返回结果。

如有数列$a = [4,1,3,2]$，有一询问$l = 2,r = 4, K = 2$，观察不难得出答案为$2$。

插入操作

在建树时，需要依次将数列中的每个元素插入到树中，每依次插入相当于依次修改，所以每一次插入就要新建一个版本。结合下面的图片，说明一下符号的含义：
Root[i] 表示第i个版本的线段树的根节点编号.
节点左边（或右边） 的数字表示节点的编号.
节点中的数字表示权值（可以理解为区间和）.
节点下方的区间表示该节点所维护的区间范围。

未插入数值

未插入数值之前，树为空树，但是仍需要一个根节点，如图所示。

插入数值4

我们知道，根节点维护的区间是$[1,4]$，根节点右儿子维护的区间是$[3,4]$，所以应该向儿子右方向继续递归，知道到叶子节点。并且我们知道上一版本是空树，只有一个根节点，所以没有节点什么可以利用的(请忽略图片中右方的连线！)。

插入数值1

下面插入数值1，根据上面的经验，应该向左子树递归。但是问题是，他的右子树呢？明显插入数值1对其右子树没有发生影响，所以我们将右子树指向上一版本的右子树。指向之后，我们再进入左子树继续递归操作，直到叶子节点。

下面的插入操作原理是一样的，不再赘述。

值得提醒的一个地方是，这里所说的指向，并不是用指针，而是将其右子树的域赋值为节点的编号，如在插入数值1后，你可以理解为$tree[root[2]].r = 3$.

查询操作

有了上面的基础，不难看出$tree[root[i]].val$实际上保存的是在第 $i$ 个版本总共插入了多少个数值。考虑到这是一颗权值线段树。实际上也就是对于题目中所描述的区间，总共插入了多少个数值。现在我们要查询给定数列的$[2,4]$ 的区间第 $2$ 大，那么就要用第4个版本和第1个版本做差，求出在这两个版本之间有多少数值。这里的做差，是递归做差，并不是直接将这两棵树的所有节点值域相减，然后在得到的结果树上查找。这样操作很明显耗时间。

首先保证这个区间内要有$K$ 个数，否则查询是无意义的。将然后这两个版本树的左子树节点值域做差，得到sum, 如果差值大于等于K，那说明左子树满足查询条件（即左子树有K个数，那么第K大一定在左子树上），就递归去左子树查询第K大；否则就在右子树上，那么我们就去右子树查询第 $K-Sum$ 大，为什么是这个数值呢？原因是不要忘记左子树有$Sum$ 个数，所以要查询$K-Sum$，如此递归下去，就可以得到结果。

$$To \ Be \ Continued...$$