【算法学习】分块算法入门

分块算法入门

所谓分块算法，就是讲一个序列分成若干块，维护块内的信息。为了保证一定的时间复杂度，所以对于一个$n$个元素组成的数组，将其分为$\sqrt{n}$块，每块也有$\sqrt{n}$个元素。所以一般分块算法的复杂中都带有根号。

对于一个暴力的区间修改问题，方法自然是对于区间的每一个元素都暴力修改，这样的话时间复杂度是明显不够优秀的。所以引入了分块的算法，分块相当于一种优雅的暴力。

如何写分块（一）

维护内容

在分块中，我们需要维护的基本内容有：总的元素个数$n$，每一块的个数$block$，块的总数目$num$，这块左端点的位置$l[i]$，这块右端点的位置$r[i]$，元素$data[i]$具体属于那一块，根据具体情况，可以适当修改。

下面就对上面需要进行预处理的一一解释。

每一块的个数

这个就很简单，根据分块的思想，每一块要维护$\sqrt{n}$个元素，故每一块的个数$block = \sqrt(n)$。

块的总数目

总共分为$block$个块，那么每一块就有$num = \frac{n}{block}$个元素，这时候要注意是否能整除，若可以则恰好分完，否则$num + 1$。

块的左右端点位置

如果我们求出了每一块的左右端点，那么也就相当于计算出了每一块所维护信息的左右区间，由于每一块有$block$个元素，我们这里设第$i$块所维护的区间为$[l[i],r[i]]$，则有如下的式子：

$$l[i] = (i-1) * block + 1, r[i] = i * block$$

这样便可以求解出每块所维护的区间。

每个元素所属于的块号

自然我们想到用元素下标$i$去除以每块的个数$block$，这样的话，当$i = block$的时候显然是不正确的，故稍作修正$belong[i] = \frac{i-1}{block} + 1$即可。

完整代码

int n,m,num,block;
int l[nmax],r[nmax],belong[nmax];
void build(){
    block = sqrt(n);
    num = n / block; if(n % block) num++;
    for(int i = 1;i<=num;++i)
        l[i] = (i-1) * block + 1,
        r[i] = i * block;
    r[num] = n;
    for(int i = 1;i<=n;++i) belong[i] = (i-1) / block + 1;
}

如何写分块（二）

思维的转换

上面的一些基本的内容，只是为了我们更快的维护其他的数据，以达到题目的要求，如果有线段树的基础，你可以把分块理解为既加强又退化的线段树。

为什么这么说呢？

在我个人看来，线段树相当于对原数组不断进行分块，直到最后不可再分。由于一块分2块，2块分4块，这样的性质保证了复杂度在$log_2n$的数量级上。而分块只分一次，每块$\sqrt{n}$个元素。

由于线段树所分块太多，所以在面对不符合区间加法的时候，就会显得十分无力。对于分块，可以采用部分暴力部分利用块内信息来统计。

由于我目前所做分块题目比较少，以上只是一些个人的看法，也希望大家可以留言交流。

如何训练

这里推荐黄学长的 「分块」数列分块入门1 – 9 by hzwer，做题地址在LOJ。

黄雪长的博客有详细的解法和代码。

To be continue.