【数字图像处理一】RGB模型转化为HSI模型的几何方法推导

本文基于《数字图像处理》（冈萨雷斯第三版）的原网站的证明并添加了一点自己的理解，如果想要获取作者的证明原始文件请访问这里。

RGB转换到HSI的几何方法公式

假设RGB模型的$R,G,B$值的取值范围为$[0,1]$。
HSI模型的三个分量：强度($I$)，色调($H$)，饱和度($S$)的计算公式如下：

$$I=\frac 1 3 (R+G+B)$$
$$S=1-\frac {3[\min (R,G,B)]}{(R+G+B)}$$
$$H=\begin{cases} \theta, & B\leq G\\ 360-\theta, & B>G\ \end{cases}$$
式中：
$$\theta=arccos\{ \frac{\frac 1 2 [(R-G)+(R-B)]}{[(R-G)^2+(R-B)(G-B)]^{\frac 1 2}}\}$$

证明

HSI模型采用三棱锥还是圆锥或者圆柱都没有影响，因为它们之间可以直接相互映射，所以三者是等价的。这里用三角形来证明。
假设RGB值已经归一化。归一化方法为：

$$r=\frac {R}{R+G+B}\quad\quad\quad（1）$$
$$g=\frac {G}{R+G+B}\quad\quad\quad（2）$$
$$b=\frac {B}{R+G+B}\quad\quad\quad（3）$$
即求出各个基色的强度所占的比例。注意到 $r,g,b$实际上代表了各个三原色的强度占总体的比例，所以显然满足如下条件:
$$r+g+b=1$$


另外仔细观察上图中的正三棱锥上的面 $P_B P_G P_R$，该平面上的任意一点都代表了 $R$值 $G$值 $B$值满足比例条件的色点。比如该平面上的点 $(0.5,0.2,0.3)$代表的所 $R:G:B=0.5:0.2:0.3$的点。
另外给出几条假设和显然的前提条件：
（1）点 $w$的坐标是 $(\frac 1 3,\frac 1 3,\frac 1 3)$，因为正三角形。
（2）设三角形 $P_B P_G P_R$上点的坐标为 $(r,g,b)$。
（3）设连接坐标原点和W的向量为&w&，同样的有 $p,p_R,p_B,p_R$。
（4）图中的直线 $P_RQ_R,P_BQ_B,P_GQ_G$两两相交于W。
（5）设 $r_0=\frac{R}{I},g_0=\frac{G}{I},b_0=\frac{B}{I}$。从图Fig.4.46(a)中可以看出对于直线 $P_RQ_R$上的任意一点都有 $g_0=b_0$，对于直线 $P_BQ_B,P_GQ_G$也有类似的结论。
（6）对于三角形 $P_R Q_R P_G$中的任意一点都有 $g_0 >b_0$，对于其他5个区域也有类似的结论。
（7） $\frac{|WQ_R|}{|P_R Q_R|}=\frac{1}{3}，\frac{|WQ_G|}{|P_G Q_G|}=\frac{1}{3}，\frac{|WQ_B|}{|P_B Q_B|}=\frac{1}{3}$，等边三角形的性质。
（8）RG扇区是三角形 $WP_R P_G$所围成的区域。对于GB和BR扇区有类似结论。

$I$的证明

按照定义，$I=\frac 1 3 (R+G+B)$，使其取值范围也在[0,1]，没有什么好说的。

$H$的证明

默认使用待求色点和r轴的夹角作为H。对于点$p$，显然有下式成立：

$$(\vec{p}-\vec{w})\ast(\vec{p_R}-\vec{w})=\|\vec{p}-\vec{w}\|\ast\|\vec{p_R}-\vec{w}\|\ast cosH\quad \quad\quad （4）$$
将p点坐标 $(r,g,b)$带入有：
$$\|\vec{p}-\vec{w}\|=[(r-\frac1 3)^2+(g-\frac1 3)^2]+(b-\frac1 3)^2]^{1/2}\quad \quad\quad （5）$$
将（1），（2），（3）带入（5）式可得：
$$\|\vec{p}-\vec{w}\|=[\frac{9(R^2+G^2+B^2)-3(R+G+B)^2}{9(R+G+B)^2}]^{1/2}\quad \quad\quad （6）$$
将 $p_R(1,0,0)$和 $W(\frac1 3,\frac1 3,\frac1 3)$带入，有：
$$\|\vec{p_R}-\vec{w}\|=(\frac{2}{3})^{1/2}\quad \quad\quad （7）$$
通过向量的坐标运算可以得到：
$$\begin{eqnarray}(\vec{p}-\vec{w})\ast(\vec{p_R}-\vec{w}) &=&\frac2 3 (r-\frac1 3)-\frac1 3 (g-\frac1 3)-\frac1 3 (b-\frac1 3)\\ &=&\frac{2R-G-B}{3(R+G+B)} \end{eqnarray}\quad \quad\quad （8）$$
由式子（4），（6），（7），（8）可得：
$$H=arccos\{\frac{\frac1 2 [(R-G)+(R-B)]}{[(R-G)^2+(R-B)(G-B)]^{1/2}}\}$$

$S$的证明

计算方法：以图Fig.4.46(b)中的p点为例，设W向r轴和g轴所在的平面投影，交于点T，P和P’分别向直线WT投影，设分别交于点Q和T。计算p点饱和度的方法是$S=\frac{|WP|}{WP'}$。
在计算饱和度时，对于三角形来说，计算$|WP|$来作为P点的饱和度是没有意义的并且是错误的，因为在我们采用的HSI模型中，点的坐标是$(r,g,b)$而不是RGB模型中的$(R,G,B)$，在这种情况下，其实向量本身也没有意义。我觉得可以这样理解，在P点所在的强度和色调不变的情况下，P’点是所能取到的最大的饱和度，因为白光强度为0。从W到P’的过程是饱和度不断增加的过程，而且是线性变化的。这样就可以用$\frac{|WP|}{|WP'|}$来表示了。注意到，如果是圆柱形的HSI模型，假设截面的半径是1的话，即$|WP'|=1$，这样只需计算$|WP|$即可，个人猜测如果将三角形的HSI转换到圆柱形的HSI，直接计算半径（将三角形HSI到圆柱HSI的转换公式作用于三角形的P的半径）就是上面给出的S的表达式。这里不再验证。
下面是计算过程，假设P点$(r,g,b)$中，$b$小于$r,g$，这样可以得到下式：

$$\begin{eqnarray}S&=&\frac{|WP|}{|WP'|}\\ &=&\frac{|WQ|}{|WT|}\\ &=&\frac{|WT|-|QT|}{|WT|}\\ &=&1-3b\end{eqnarray}$$

推广到$g,r$最小的情况可得：

$$S=1-\frac{3}{(R+G+B)}[min(R,G,B)]$$
证毕。

参考资料

《数字图像处理》（冈萨雷斯）第三版
初入计算机，请大家多多指教嘛，共同学习~~~持续更新中……