DSU on tree——令人惊叹的想法

DSU on tree

首先感谢LX dalao的讲解。

DSU on tree用于解决静态树上众数问题，比如说Codeforces 600E

题目大意

给你一棵树，每个节点有一种颜色，问你每个子树x的颜色数最多的那种颜色，如果颜色数相同，那么种类数相加。

输入样例1

4
1 2 3 4
1 2
2 3
2 4

输出样例1

10 9 3 4

输入样例2

15
1 2 3 1 2 3 3 1 1 3 2 2 1 2 3
1 2
1 3
1 4
1 14
1 15
2 5
2 6
2 7
3 8
3 9
3 10
4 11
4 12
4 13

样例输出2

6 5 4 3 2 3 3 1 1 3 2 2 1 2 3

其实DSU on tree这个想法很简单，是一个神奇的优化算法，用树剖把笨蛋想法给优化到 $O(N log_2N)$ ，我也不知道为什么时间复杂度是 $O(N log_2 N)$ ，但是他就是快。

我们先了解一下笨蛋的想法。

其实很简单，就是枚举这个点，然后这棵子树扫一遍得到答案，然后清空hsh数组。

这就是笨蛋，我们会发现它做了一些无用功，比如说最后一次清空，其实可以用于他的父节点，这样父节点就可以少算一个子节点。

我们想让尽量大的子树不擦除，那么就树剖剖出重儿子，重儿子不擦除就可以了！

这个想法很巧妙，先让我Orz一下发明人。

我们简单讲一下算法实现步骤：

剖出重儿子。
DFS便利子树。先遍历轻儿子，然后再遍历重儿子。
如果当前根节点是重儿子，那么就跳过，否则就擦除。

下面解释一下代码：

变量：

int n,AnsMax,a[MAXN];
//n,a[]:读入
//AnsMax:当前子树最多的颜色
LL c,Ans[MAXN];
//c:当前的颜色
//Ans[]:存答案。
bool vis[MAXN];
//标记这个子树是否需要被遍历。
int hsh[MAXN],Siz[MAXN],Son[MAXN],Fa[MAXN];
//树剖
struct Edge{//邻接表
    int tot,lnk[MAXN],son[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1];
    void Add(int x,int y){son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;}
}E;

树剖：

void First(int x,int f){
    Fa[x]=f;Siz[x]=1; 
    for(int j=E.lnk[x],SizeMax=0;j;j=E.nxt[j])
    if(E.son[j]!=f){
        First(E.son[j],x);Siz[x]+=Siz[E.son[j]];
        if(Siz[E.son[j]]>SizeMax) SizeMax=Siz[E.son[j]],Son[x]=E.son[j];
    }
}

计算颜色：

void Cal(int x,int p){
    hsh[a[x]]+=p;
    //
    if(p>0&&hsh[a[x]]==AnsMax) c+=a[x];
    if(p>0&&hsh[a[x]]>AnsMax) AnsMax=hsh[a[x]],c=a[x];
    //计算答案。
    for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
    if(E.son[j]!=Fa[x]&&!vis[E.son[j]]) Cal(E.son[j],p);
    //vis[E.son[j]]=1的话，说明hsh数组已经存了这棵子树
}

枚举子树：

void Second(int x,int T){//x子树根节点，T表示x是否是重儿子
    for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])//遍历轻儿子
    if(E.son[j]!=Fa[x]&&E.son[j]!=Son[x]) Second(E.son[j],0);
    if(Son[x]) Second(Son[x],1),vis[Son[x]]=1;//遍历重儿子
    Cal(x,1);Ans[x]=c;//计算整棵子树
    if(Son[x]) vis[Son[x]]=0;
    if(!T) Cal(x,-1),c=AnsMax=0;//如果不是重儿子，那么擦除
}

就这么简单

下面附上完整代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define MAXN 100005
#define LL __int64
using namespace std;
int n,AnsMax,a[MAXN];
LL c,Ans[MAXN];
bool vis[MAXN];
int hsh[MAXN],Siz[MAXN],Son[MAXN],Fa[MAXN];
struct Edge{
    int tot,lnk[MAXN],son[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1];
    void Add(int x,int y){son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;}
}E;
int read(){
    int ret=0;char ch=getchar();bool f=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f^=!(ch^'-');
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
    return f?ret:-ret;
}
void First(int x,int f){
    Fa[x]=f;Siz[x]=1; 
    for(int j=E.lnk[x],SizeMax=0;j;j=E.nxt[j])
    if(E.son[j]!=f){
        First(E.son[j],x);Siz[x]+=Siz[E.son[j]];
        if(Siz[E.son[j]]>SizeMax) SizeMax=Siz[E.son[j]],Son[x]=E.son[j];
    }
}
void Cal(int x,int p){
    hsh[a[x]]+=p;
    if(p>0&&hsh[a[x]]==AnsMax) c+=a[x];
    if(p>0&&hsh[a[x]]>AnsMax) AnsMax=hsh[a[x]],c=a[x];
    for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
    if(E.son[j]!=Fa[x]&&!vis[E.son[j]]) Cal(E.son[j],p);
}
void Second(int x,int T){
    for(int j=E.lnk[x];j;j=E.nxt[j])
    if(E.son[j]!=Fa[x]&&E.son[j]!=Son[x]) Second(E.son[j],0);
    if(Son[x]) Second(Son[x],1),vis[Son[x]]=1;
    Cal(x,1);Ans[x]=c;
    if(Son[x]) vis[Son[x]]=0;
    if(!T) Cal(x,-1),c=AnsMax=0;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("prob.in","r",stdin);
    freopen("prob.out","w",stdout);
    #endif
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read();E.Add(x,y);E.Add(y,x);}
    First(1,0);Second(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf(i==n?"%I64d\n":"%I64d ",Ans[i]);
    return 0;
}

DSU on tree——令人惊叹的想法

DSU on tree

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