[BZOJ2658][Zjoi2012]小蓝的好友(mrx)（扫描线+Treap）

Source

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2658

Solution

First

直觉告诉我们：「至少一个」是不好直接做的。
因此考虑补集转换：用「选出一个子矩形的所有方案数」减去「子矩形内没有资源点的方案数」。
「选出一个子矩形的所有方案数」比较显然：

$$\frac{r\times(r+1)}2\times\frac{c\times(c+1)}2$$
而下面就考虑怎么求「子矩形内没有资源点的方案数」。

Second

考虑使用扫描线来求解。具体的思路就是设一个 $pos$ ，从第一行移到最后一行，在移动的过程中，维护出：
「所有的子矩形 $[l,pos][a,b]$ （即表示行号从 $l$ 到 $pos$ ，列号从 $a$ 到 $b$ ）中，没有资源点的子矩形个数」。
设这个时候， 定义一个 $w[i]$ （ $1\le i\le c$ ）：
表示第 $i$ 列，行号在 $[1,pos]$ 范围内，位置最下（行号最大）的资源点的编号。
这时候，假设固定 $a$ 和 $b$ ，考虑这时候的子矩形 $[l,pos][a,b]$ 产生的贡献。即有多少个合法的 $l$ 。
可以发现，只要保证 $l$ 大于 $w[a...b]$ 中的任意一个数即可。
而 $l\in[1,pos]$ ，因此这时候合法的 $l$ 的个数为：

$$pos-\max[a,b]$$
其中 $\max[a,b]$ 表示 $w$ 的区间 $[a,b]$ 的最小值。
也就是对于这个 $pos$ ，产生的贡献为：
$$\sum_{i=1}^c\sum_{j=i}^c\{[pos-\max[i,j]\}$$
$$=\frac{c\times(c+1)}2\times pos-\sum_{i=1}^c\sum_{j=i}^c\max[i,j]$$
于是问题转化为：
给定一个数组 $w[1...c]$ ，初始全部为 $0$ 。然后每次会修改一个 $w[i]$ ，或者询问 $\sum_{i=1}^c\sum_{j=i}^c\max[i,j]$ 的值（也就是 $w$ 的所有子区间的最大值之和）。

Third

可以用一棵二叉树维护这个序列。这棵树具有这个特点：
（1）根节点为这个序列的最大值，设这个最大值为序列的第 $k$ 个元素。
（2）左子树是区间 $[1,k-1]$ 构成的二叉树，右子树是区间 $[k+1,c]$ 构成的二叉树。
简单地说，这棵二叉树的特点：
（1）中序遍历可以得到原序列。
（2）权值满足（大根）堆性质。
（3）以节点 $x$ 对应序列位置为最大值的区间个数为

$$(size[lc[x]]+1)\times(size[rc[x]]+1)$$
$size$ 为子树大小， $lc$ 和 $rc$ 为左右子树。
（4）由（3）得出，如果节点 $x$ 的权值为 $q[x]$ ，那么 $w$ 的子区间最大值之和为：
$$\sum_{x}q[x]\times(size[lc[x]]+1)\times(size[rc[x]]+1)$$
我们把这棵树叫做 cyf树 cx树 cyx树 pyz树 笛卡尔树。

Fourth

特点（1）（2）让我们想到了什么？
Treap ！
考虑用 Treap 维护笛卡尔树。
把权值当做优先级，位置编号当做关键字建立 Treap 。
由于数据随机，因此复杂度可以保证。
在旋转、插入、删除的时候，在 Treap 上计算对序列区间最大值之和的贡献。
复杂度：期望 $O(r+c+n\log c)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll;
const int N = 4e5 + 5;
int r, c, n, rt, QAQ, lc[N], rc[N], sze[N], pri[N], pyz[N];
ll ans, sum;
struct cyx {int x, y;} a[N];
bool comp(cyx a, cyx b) {return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);}
void upt(int x) {
    sze[x] = 1; if (lc[x]) sze[x] += sze[lc[x]]; if (rc[x]) sze[x] += sze[rc[x]];
}
void zig(int &x) {
    sum -= 1ll * (sze[lc[x]] + 1) * (sze[rc[x]] + 1) * pri[x];
    sum -= 1ll * (sze[lc[lc[x]]] + 1) * (sze[rc[lc[x]]] + 1) * pri[lc[x]];
    int y = lc[x]; lc[x] = rc[y]; rc[y] = x; sze[y] = sze[x]; upt(x); x = y;
    sum += 1ll * (sze[lc[x]] + 1) * (sze[rc[x]] + 1) * pri[x];
    sum += 1ll * (sze[lc[rc[x]]] + 1) * (sze[rc[rc[x]]] + 1) * pri[rc[x]];
}
void zag(int &x) {
    sum -= 1ll * (sze[lc[x]] + 1) * (sze[rc[x]] + 1) * pri[x];
    sum -= 1ll * (sze[lc[rc[x]]] + 1) * (sze[rc[rc[x]]] + 1) * pri[rc[x]];
    int y = rc[x]; rc[x] = lc[y]; lc[y] = x; sze[y] = sze[x]; upt(x); x = y;
    sum += 1ll * (sze[lc[x]] + 1) * (sze[rc[x]] + 1) * pri[x];
    sum += 1ll * (sze[lc[lc[x]]] + 1) * (sze[rc[lc[x]]] + 1) * pri[lc[x]];
}
void ins(int &x, int t, int p1, int p2) {
    if (!x) return (void) (sze[x = ++QAQ] = 1, pri[QAQ] = p1,
        pyz[QAQ] = p2, sum += p1); sze[x]++;
    int tmp = sze[lc[x]]; if (t <= tmp) {
        sum += 1ll * pri[x] * (sze[rc[x]] + 1); ins(lc[x], t, p1, p2);
        if (pri[lc[x]] > pri[x] ||
            (pri[lc[x]] == pri[x] && pyz[lc[x]] < pyz[x])) zig(x);
    }
    else {
        sum += 1ll * pri[x] * (sze[lc[x]] + 1);
        ins(rc[x], t - tmp - 1, p1, p2); if (pri[rc[x]] > pri[x] ||
            (pri[rc[x]] == pri[x] && pyz[rc[x]] < pyz[x])) zag(x);
    }
}
int build(int L, int R) {
    int x = ++QAQ, mid = L + R >> 1; if (L == 1 && R == c) rt = x;
    if (L < mid) lc[x] = build(L, mid - 1);
    if (mid < R) rc[x] = build(mid + 1, R);
    pri[x] = 0; pyz[x] = x; upt(x); return x;
}
int findx(int rk) {
    int x = rt; while (x) {
        int tmp = sze[lc[x]]; if (rk == tmp + 1) return x;
        else if (rk <= tmp) x = lc[x]; else x = rc[x], rk -= tmp + 1;
    }
    return -1;
}
void del(int &x, int rk) {
    int tmp = sze[lc[x]]; if (rk == tmp + 1) {
        if (!lc[x] || !rc[x]) sum -= 1ll * pri[x] *
            (sze[lc[x]] + sze[rc[x]] + 1), x = lc[x] + rc[x];
        else {
            (pri[lc[x]] > pri[rc[x]] || (pri[lc[x]] == pri[rc[x]]
                && pyz[lc[x]] < pyz[rc[x]])) ? zig(x) : zag(x); del(x, rk);
        }
        return;
    }
    sze[x]--;
    if (rk <= tmp) sum -= 1ll * pri[x] * (sze[rc[x]] + 1), del(lc[x], rk);
        else sum -= 1ll * pri[x] * (sze[lc[x]] + 1), del(rc[x], rk - tmp - 1);
}
void change(int id, int v) {
    int x = findx(id), _pyz = pyz[x]; del(rt, id); ins(rt, id - 1, v, _pyz);
}
int main() {
    int i; r = read(); c = read(); n = read(); For (i, 1, n)
        a[i].x = read(), a[i].y = read(); sort(a + 1, a + n + 1, comp);
    build(1, c); int lr = 1; For (i, 1, r) {
        while (lr <= n && a[lr].x <= i) change(a[lr].y, i), lr++;
        ans += (1ll * c * (c + 1) >> 1) * i - sum;
    }
    cout << (1ll * r * (r + 1) >> 1) * (1ll * c * (c + 1) >> 1) - ans; return 0;
}