题意
有一个2n个点的完全二分图,现在要把每一条边染成红色,蓝色或绿色,要求任意两条红色边不共享端点,且任意两条蓝色边不共享端点,问合法方案数。
分析
其实就是要选出两个匹配,使得这两个匹配的交集为空。
考虑容斥,设
表示
个点的二分完全图的匹配数量,那么答案就是
问题在于如何求 。
不难得到
但现在对于每个 都要求 ,显然不能每次 求。
考虑递推,我们把二分图看成一个 的矩阵,现在可以选出若干个点,使得每一行或每一列至多有一个点被选。
如果由 递推过来的话,考虑在新增的 个格子里选某个或一个都不选,方案就是 ,但如果第n行和第n列同时有格子被选的话,就会算重,所以还要减去 ,所以有
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
const int N=10000005;
const int MOD=1000000007;
int n,ny[N],jc[N],f[N];
int C(int n,int m)
{
return (LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++) jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD,ny[i]=(LL)(MOD-MOD/i)*ny[MOD%i]%MOD;
for (int i=2;i<=n;i++) ny[i]=(LL)ny[i-1]*ny[i]%MOD;
f[0]=1;f[1]=2;
for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=((LL)f[i-1]*i*2%MOD-(LL)f[i-2]*(i-1)%MOD*(i-1)%MOD)%MOD;
int ans=0;
for (int i=0;i<=n;i++)
if (i&1) (ans-=(LL)C(n,i)*C(n,i)%MOD*jc[i]%MOD*f[n-i]%MOD*f[n-i]%MOD)%=MOD;
else (ans+=(LL)C(n,i)*C(n,i)%MOD*jc[i]%MOD*f[n-i]%MOD*f[n-i]%MOD)%=MOD;
printf("%d",(ans+MOD)%MOD);
return 0;
}