爱奇艺2018秋季Java笔试第二场 第三道编程题 牛牛和羊羊 求数学期望

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来源：牛客网

牛牛和羊羊非常无聊.他们有n + m个共同朋友,他们中有n个是无聊的,m个是不无聊的。每个小时牛牛和羊羊随机选择两个不同的朋友A和B.(如果存在多种可能的pair(A, B),任意一个被选到的概率相同。),然后牛牛会和朋友A进行交谈,羊羊会和朋友B进行交谈。在交谈之后,如果被选择的朋友之前不是无聊会变得无聊。现在你需要计算让所有朋友变得无聊所需要的时间的期望值。 
输入描述:
输入包括两个整数n 和 m(1 ≤ n, m ≤ 50)


输出描述:
输出一个实数,表示需要时间的期望值,四舍五入保留一位小数。
示例1
输入
2 1
输出
1.5

【解决】考虑数学期望的求解
m=0，数学期望是0，不用交谈。
m=1，用数学期望的累加，会一直加到无穷，如果m=1还好求解。

因为数学期望推导有无穷个项的数列，对于m>1的情况，无法推导出递推公式。
考虑用动态规划的方法求解。思路如下图。
记dp(n,m)为(n,m)的数学期望，表示通过谈话将(n,m)转化为(n+m,0)的时间期望。
对于(n,m)这个状态，如果再取一次对话，会有三种情况，(n,m),(n+1,m-1),(n+2,m-2)。
这里有个理解的困难点，这里求的是数学期望，很明显能得出dp(n+1,m-1)，dp(n+2, m-2)的数学期望是较小的，所以这里的公式是要在dp(n+1,m-1)+1和dp(n+2,m-2)+1。
也可以这么理解，dp(n,m)可以分成这三块
一、dp(n,m) 概率是c1/s，
二、dp(n+1, m-1) 概率是c2/s
三、dp(n+2,m-2) 概率是c3/s
数学期望的计算公式是 各取值的可能性 * 概率 累加求和。这里因为是多交谈了一次，转换而来的，说明dp(n,m)比累加求和要大1。
公式推导如下图所示。

注意，对于m>2的情况，数组dp要初始化,dp[0]相当于是dp[n+m, 0]，为0
dp[1]相当于是dp(n+m-1, 1)，它的期望是m+n/2.0f

import java.util.Scanner;

/**
 * Created by Administrator on 2018/6/23 0023.
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            int m = scanner.nextInt();
            float[] dp = new float[m + 1];
            if (m == 0) {
                System.out.println(0);
                return;
            }
            if (m == 1) {
                float res = (n + 1) / 2.0f;  //和下面的不同，此处已知m=1
                String r = String.format("%.1f", res);
                System.out.println(r);
                return;
            }
            dp[1] = (n+ m) / 2.0f;  //注意此处
            for (int i = 2; i <= m; i++) {
                dp[i] = p1(m + n-i, i) + p2(m + n -i, i) * (dp[i-1] + 1) + p3(m + n -i, i) * (dp[i-2] + 1);
            }
            String r = String.format("%.1f", dp[m]);
            System.out.println(r);
        }

    }

    private static float p1(int n, int m) {
        int c1 = n * (n-1) / 2;
        int s = (n + m) * (n + m -1) / 2;
        float res = c1 * 1.0f / (s - c1);
        return res;
    }

    private static float p2(int n, int m) {
        int c1 = n * (n-1) / 2;
        int c2 = n * m;
        int s = (n + m) * (n + m -1) / 2;
        float res = c2 * 1.0f / (s - c1);
        return res;
    }

    private static float p3(int n, int m) {
        int c1 = n * (n-1) / 2;
        int c3 = m * (m  -1) / 2;
        int s = (n + m) * (n + m -1) / 2;
        float res = c3 * 1.0f / (s - c1);
        return res;
    }

}