BZOJ_4609_[Wf2016]Branch Assignment_决策单调性+带权二分

Description

要完成一个由s个子项目组成的项目，给b(b>=s)个部门分配，从而把b个部门分成s个组。分组完成后，每一组的任

意两个点之间都要传递信息。假设在(i,j)两个点间传送信息，要先把信息加密，然后快递员从i出发到总部，再加

密，在到j点。出于安全原因，每次只能携带一条消息。现在给出了道路网络、各个部门和总部的位置，请输出快

递员要走的最小总距离。

Input

第一行包含四个整数n,b,s,r。n(2<=n<=5000)代表路口数，b(1<=b<=n-1)是部门数，s(1<=s<=b)是子项目数

r(1<=r<=50000)是道路数。路口标号为1~n，部门在路口1~b，总部在路口b+1。

接下来r行每行三个整数u,v,l，描述一条从u到v长度为l(0<=l<=10000)的双向边。保证没有重边，保证图强连通。

Output

输出快递员要走的最小总距离。

Sample Input

5 4 3 8
1 5 15
5 1 15
2 5 2
5 2 3
3 5 1
5 3 1
4 5 2
5 4 0

Sample Output

先处理出dis1[i]表示i到b+1的最短路和dis2[i]表示b+1到i的最短路。

然后设a[i]=dis1[i]+dis2[i]。

由于每个集合内的点都要跑size-1个来回。

答案就是每个点的权值乘上size-1之和。这个-1可以放在后面一起算。

按权值排个序，之后选连续一段的一定最优。

否则：最优解中一定有两个集合S,T。设mx为S中最大的数，mn为S中最小的数。

那么一定在T中存在x使得mn<x<mx。

如果siz[S]>siz[T]，那么把x和mx交换一定更优。

否则把x和mn交换一定不会变差。

转化成序列上的问题。

先带权二分把K弄没。

F[i]=F[j]+(i-j)*(s[i]-s[j])

然后因为x*lx+y*lx>(x-d)*(lx-p)+(y+d)*(ly-p)。

DP式子满足决策单调性。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
#define N 5050
#define M 50050
typedef long long ll;
__attribute__((optimize("-O3")))inline char nc() {
    static char buf[100000],*p1,*p2;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
__attribute__((optimize("-O3")))int rd() {
    int x=0; char ch=nc();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=nc();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=nc();
    return x;
}
int head[N],to[M],nxt[M],val[M],cnt,dis[N],a[N],vis[N],xx[M],yy[M],zz[M],n,B,S,m,g[N];
ll s[N],f[N],C;
__gnu_pbds::priority_queue<pair<int,int> >q;
__attribute__((optimize("-O3")))inline void add(int u,int v,int w) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt; val[cnt]=w;
}
__attribute__((optimize("-O3")))void dij() {
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[B+1]=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(make_pair(0,B+1));
    while(!q.empty()) {
        int x=q.top().second,i; q.pop();
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=1; a[x]+=dis[x];
        for(i=head[x];i;i=nxt[i]) {
            if(dis[to[i]]>dis[x]+val[i]) {
                dis[to[i]]=dis[x]+val[i];
                q.push(make_pair(-dis[to[i]],to[i]));
            }
        }
    }
}
struct A {
    int l,r,p;
}Q[N];
#define Y(j,i) (f[j]+(i-j)*(s[i]-s[j])+C)
// ll Y(int j,int i) {
//  return f[j]+(i-j)*(s[i]-s[j])+C;
// }
__attribute__((optimize("-O3")))int find(const A &a,int x) {
    int l=a.l,r=a.r+1;
    while(l<r) {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(Y(x,mid)>Y(a.p,mid)) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return l;
}
__attribute__((optimize("-O3")))void check() {
    int i,l=0,r=0;
    Q[r++]=(A){0,n,0};
    for(i=1;i<=n;i++) {
        while(l<r&&Q[l].r<i) l++;
        f[i]=Y(Q[l].p,i); g[i]=g[Q[l].p]+1;
        if(Y(i,n)<=Y(Q[r-1].p,n)) {
            while(l<r&&Y(i,Q[r-1].l)<=Y(Q[r-1].p,Q[r-1].l)) r--;
            if(l==r) Q[r++]=(A){i,n,i};
            else {
                int x=find(Q[r-1],i);
                Q[r-1].r=x-1;
                Q[r++]=(A){x,n,i};
            }
        }
    }
}
__attribute__((optimize("-O3")))int main() {
    n=rd(); B=rd(); S=rd(); m=rd();
    register int i;
    for(i=1;i<=m;i++) {
        xx[i]=rd(); yy[i]=rd(); zz[i]=rd();
        add(xx[i],yy[i],zz[i]);
    }
    dij();
    memset(head,0,sizeof(head)); cnt=0;
    for(i=1;i<=m;i++) {
        add(yy[i],xx[i],zz[i]);
    }
    dij();
    n=B;
    sort(a+1,a+n+1);
    for(i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
    ll l=0,r=1ll<<48;
    while(l<r) {
        C=(l+r)>>1;
        check();
        if(g[n]>S) l=C+1;
        else r=C;
    }
    l--; C=l; check();
    printf("%lld\n",f[n]-S*l-s[n]);
}