bzoj2216 [Poi2011]Lightning Conductor（决策单调性+分治/二分+单调栈）

化简一下就是求$ans[i]=max\{a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a[i]$

我们把绝对值去掉，正着倒着各做一遍即可。

现在只考虑$<i$的$j$

设$k_1<k_2<i$，且k2优于k1，那么有

$a_{k_1}+\sqrt{i-k_1}<a_{k_2}+\sqrt{i-k_2}$

因为$\sqrt x-\sqrt{x-1}$是单降的，所以在i增大的情况下，k2永远会优于k1

因此具有决策单调性。

以j作为最优决策点的i一定是一段连续的区间（可能为空），因此我们可以维护一个单调栈，每个点记录最优区间[l,r]。
考虑我们加入一个新的决策点j，如果在i=n时j都没有队尾优，那么j永远不会作为最优决策点，不管。否则不停弹队尾，如果当i=l[队尾]时，j就比队尾优，那么弹出队尾。直到弹不动了，此时队尾和j的最优决策分割点就是l[队尾],r[队尾]之间，我们二分找到这个时间t,把队尾区间改成[l,t],新加入[t+1,n]。如果队列为空，直接加入[i+1,n]

注意每次要把无用的左端点移到合法位置。

复杂度$O(nlogn)$

写了分治版的，虽然不知道复杂度怎么证qaq，不过应该也是$O(nlogn)$的，不过跑的要慢一些。

单调栈+二分最优决策点

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 500010
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,a[N],f[N],g[N];
struct Icefox{
    int id,l,r;
    Icefox(int _l=0,int _r=0,int _id=0){id=_id;l=_l;r=_r;}
}q[N];
inline double calc(int j,int i){
    return a[j]+sqrt(abs(i-j));
}
inline int ask(Icefox x,int k2){
    int l=x.l,r=x.r,k1=x.id;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(calc(k1,mid)>=calc(k2,mid)) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }return l-1;
}
inline void dp(int *F){
    int qh=1,qt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(qh<=qt&&q[qh].r<i) ++qh;
        if(qh<=qt) q[qh].l++;
        if(qh>qt||calc(q[qt].id,n)<=calc(i,n)){
            while(qh<=qt&&calc(q[qt].id,q[qt].l)<=calc(i,q[qt].l)) --qt;
            if(qh<=qt){
                int res=ask(q[qt],i);
                q[qt].r=res;q[++qt]=Icefox(res+1,n,i);
            }else q[++qt]=Icefox(i+1,n,i);
        }F[i]=ceil(calc(q[qh].id,i));
    }
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    dp(f);reverse(a+1,a+n+1);dp(g);reverse(a+1,a+n+1);reverse(g+1,g+n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",max(f[i],g[i])-a[i]);
    return 0;
}

分治写法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 500010
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,a[N],f[N],g[N];
inline double calc(int i,int j){
    return a[j]+sqrt(abs(i-j));
}
inline void solve1(int l,int r,int L,int R){
    if(l>r) return;int mid=l+r>>1,pos=0;
    for(int i=L;i<=R&&i<=mid;++i)
        if(calc(mid,i)>=calc(mid,pos)) pos=i;
    f[mid]=ceil(calc(mid,pos));
    solve1(l,mid-1,L,pos);solve1(mid+1,r,pos,R);
}
inline void solve2(int l,int r,int L,int R){
    if(l>r) return;int mid=l+r>>1,pos=0;
    for(int i=R;i>=L&&i>=mid;--i)
        if(calc(mid,i)>=calc(mid,pos)) pos=i;
    g[mid]=ceil(calc(mid,pos));
    solve2(l,mid-1,L,pos);solve2(mid+1,r,pos,R);
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    solve1(1,n,1,n);solve2(1,n,1,n);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",max(f[i],g[i])-a[i]);
    return 0;
}