使用Lingo求解简单的线性规划问题

我们使用lingo可以解决数学规划问题，网络优化，多目标规划，博弈论，排队论，决策分析以及最小二常法等问题，而且编程简单易懂，是我们进行建模开发的必备技能之一。

1.Lingo中关系运算符

在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻辑运算符截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。
LINGO有三种关系运算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中还能用“<”表示小于等于关系，“>”表示大于等于关系。LINGO 并不支持严格小于和严格大于关系运算符。

2.数学函数

LINGO提供了大量的标准数学函数，具体如下表所示：

数学函数	意义
@abs(x)	返回x 的绝对值
@sqrt()	开方
@sin(x)	返回x 的正弦值，x 采用弧度制
@cos(x)	返回x 的余弦值
@tan(x)	返回x 的正切值
@exp(x)	返回常数e 的x 次方
@log(x)	返回x 的自然对数
@lgm(x)	返回x 的gamma 函数的自然对数
@sign(x)	如果x<0 返回-1；否则，返回1
@floor(x)	返回x的整数部分。当x>=0 时，返回不超过x 的最大整数；当x<0时，返回不低于x 的最大整数。
@smax(x1,x2,…,xn)	返回x1，x2，…，xn 中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn)	返回x1，x2，…，xn 中的最小值

3.变量界定函数

变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种
@bin(x) 限制x 为0 或1 — 用于0-1规划
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消对变量x 的默认下界为0 的限制，即x 可以取任意实数
@gin(x) 限制x 为整数
在默认情况下，LINGO 规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free 取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可 以取消默认下界为0的约束。

4.sum函数与for函数

1.sum函数

使用语法：

@sum(集合(下标)：集合表达式);

代码示例：

表达方式	示例
数学表达式	$min={\sum }_{i=1}^3{\sum }_{j=1}^{3}x(i)\ast d(i,j)$
Lingo编码	$min=$@$sum(arc(i,j):x(i)\ast d(i,j))$

arc是一个3*3集合（矩阵）

2.for函数

使用方法:

@for(集合(下标)[逻辑表达式]:集合表达式);

代码示例:

表达方式	示例
数学表达式	x ( i ) < 10 ; i ϵ { 1 , 2 , 3 } x(i)<10;i\epsilon\left \{ 1,2,3 \right \} x(i)<10;iϵ{ 1,2,3}
Lingo编码	@$for(node(i):x(i)<10)$

node同样是一个集合（矩阵）

5.常见的线性规划问题

对应求解的lingo程序如下所示：

model:
sets:
row/1..3/:b;
col/1..4/:c,x;
link(row,col):a;
endsets
data:
c=6 2 3 9;
a=5 6 -4 -4  3 -3 2 8  4 2 -1 3;
b=2 25 10;
enddata
max=@sum(col:c*x);
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
end

注意：lingo程序中的变量默认都是非负数。

对应的lingo程序如下所示：

model:
sets:
row1/1..4/:b1;
row2/1..2/:b2;
col/1..5/:c,x;
link1(row1,col):a1;
link2(row2,col):a2;
endsets
data:
c=10 2 1 8 6;
a1=1 0 1 0 0  0 1 0 1 0  0 0 1 0 1  0 0 0 1 1;
a2=1 2 1 1 -1  2 0 0 3 5;
b1=100 200 300 500;
b2=-400 -220;
enddata
min=@sum(col:c*x);
@for(row1(i):@sum(col(j):a1(i,j)*x(j))=b1(i));
@for(row2(i):@sum(col(j):a2(i,j)*x(j))>b2(i));
@for(col:@free(x));
end

对应求解的lingo程序如下所示：

model:
sets:
row/1..3/:b;
col/1..5/:c,x,L,U;
link(row,col):a;
endsets
data:
b=20 30 10;
c=8 6 5 9 3;
a=2 9 -1 3 1  1 -3 2 6 1  1 2 -1 1 -2;
L=-10 -50 -15 -20 -30;
U=20,50,60,30,10;
enddata
min=@sum(col:c*x);
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));
@for(col:@bnd(L,x,U));
end