[BZOJ 4170 / 2989] 极光 / 数列

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题目描述

“若是万一琪露诺（俗称rhl）进行攻击，什么都好，冷静地回答她的问题来吸引她。对方表现出兴趣的话，那就慢慢地反问。在她考虑答案的时候，趁机逃吧。就算是很简单的问题，她一定也答不上来。”
—-《上古之魔书》
天空中出现了许多的北极光，这些北极光组成了一个长度为$n$的正整数数列$a[i]$,远古之魔书上记载到：2个位置的$graze$值为两者位置差与数值差的和：

$$graze(x,y)=|x-y|+|a[x]-a[y]|。$$
要想破解天罚，就必须支持2种操作（k都是正整数）：
$Modify\ x\ k$：将第 $x$个数的值修改为 $k$。
$Query\ x\ k$：询问有几个 $i$满足 $graze(x,i)\leq k$。
由于从前的天罚被圣王lmc破解了，所以rhl改进了她的法术，询问不仅要考虑当前数列，还要考虑任意历史版本，即统计任意位置上出现过的任意数值与当前的 $a[x]$的 $graze$值 $\leq k$的对数。（某位置多次修改为同样的数值，按多次统计）

输入输出格式

输入格式

第$1$行两个整数$n,q$。分别表示数列长度和操作数。
第2行$n$个正整数，代表初始数列。
第$3\to q+2$行每行一个操作。
$N\leq 40000$, 修改操作数$\leq 60000$, 询问操作数$\leq 10000$, $Max{a[i]}(含修改)\leq 80000$

输出格式

对于每次询问操作，输出一个非负整数表示答案

输入输出样例

输入样例#1

3 5
2 4 3
Query 2 2
Modify 1 3
Query 2 2
Modify 1 2
Query 1 1

输出样例#1

2
3
3

解题分析

这道题难点在于转化询问。 显然我们可以将所谓的$a[i]$值视为$y_i$，$i$视为$x_i$，所谓的历史版本就成了插入一个点。 那么询问就变成了一个侧放的正方形内有多少个点。如下图， 设询问点为$A$， 而$k=2$的情况：

这样显然不好查询， 那么我们考虑把它旋转45°， 运用初中的知识有：

$$A(x,\ y)\ \ \to A'(x-y,\ x+y)$$

看看旋转后的矩形是什么样的：

发现变成了一个宽为$2k$的正放的正方形， 我们就可以用树状数组维护啦。（类似这道题）
可能大家会有疑惑：正方形中不是还有一些空点吗？不会多统计吗？实际上这些点是无法通过旋转得到的， 自然也不用考虑。

其余细节见代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 1000005
#define lowbit(i) (i & -i)
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    W (!isdigit(c)) c = gc;
    W (isdigit(c))
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
int dot, q, cnt, tree[MX], tot, mn = 99999999, mx = -99999999, get1, get2;
char bf[10];
struct Que
{
    int x, y1, y2, typ, id, ord, del, tim;
}eve[MX << 1], buf[MX << 1];
struct Point
{
    int x, y;
}pt[MX];//存当前最新的一个x坐标为i的点
struct Res
{
    int ans[3];
}res[MX];
IN bool operator < (const Que &x, const Que &y)
{return x.x == y.x ? x.typ < y.typ : x.x < y.x;}
IN void add(R int pos)
{W (pos <= mx) ++tree[pos], pos += lowbit(pos);}
IN int query(R int pos)
{
    int ret = 0;
    W (pos) ret += tree[pos], pos -= lowbit(pos);
    return ret;
}
IN void clear(R int pos)
{
    W (pos <= mx) if(tree[pos]) tree[pos] = 0, pos += lowbit(pos);
    else return;
}
void cdq(const int &lef, const int &rig)
{
    if(lef == rig) return;
    int mid = lef + rig >> 1;
    int lb = lef, rb = mid + 1;
    for (R int i = lef; i <= rig; ++i)
    {
        if(eve[i].tim > mid) buf[rb++] = eve[i];
        else buf[lb++] = eve[i];
    }
    for (R int i = lef; i <= rig; ++i) eve[i] = buf[i];
    lb = lef, rb = mid + 1;
    W (233)
    {
        if(eve[rb].typ)
        {
            W (eve[lb].x <= eve[rb].x && lb <= mid)
            {
                if(!eve[lb].typ)
                add(eve[lb].y1);
                ++lb;
            }
            get1 = query(eve[rb].y1);
            get2 = query(eve[rb].y2);
            res[eve[rb].id].ans[eve[rb].ord] += get1 - get2;
        }
        ++rb;
        if(rb > rig) break;
    }
    for (R int i = lef; i < lb; ++i) if(!eve[i].typ) clear(eve[i].y1);
    cdq(lef, mid), cdq(mid + 1, rig);
}
int main(void)
{
    int a, b;
    in(dot), in(q), cnt = dot;
    for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
    {
        in(a);
        eve[i].x = i - a, eve[i].y1 = i + a, eve[i].tim = i;
        mn = std::min(mn, std::min(eve[i].x, eve[i].y1));
        //因为旋转后坐标可能为负， 预先加上最小值的相反数
        mx = std::max(mx, std::max(eve[i].x, eve[i].y1));
        //确定树状数组范围
        pt[i].x = eve[i].x, pt[i].y = eve[i].y1;
    }
    for (R int i = 1; i <= q; ++i)
    {
        scanf("%s", bf); in(a), in(b);
        if(bf[0] == 'M')
        {
            eve[++cnt].x = a - b, eve[cnt].y1 = a + b;
            mn = std::min(mn, std::min(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
            mx = std::max(mx, std::max(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
            eve[cnt].tim = cnt;
            pt[a].x = eve[cnt].x, pt[a].y = eve[cnt].y1;
        }
        else
        {
            eve[++cnt].x = pt[a].x - b - 1, eve[cnt].y1 = pt[a].y + b, eve[cnt].y2 = pt[a].y - b - 1, 
            eve[cnt].typ = 1, eve[cnt].ord = 1, eve[cnt].id = ++tot, eve[cnt].tim = cnt;
            mn = std::min(mn, std::min(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
            mx = std::max(mx, std::max(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
            eve[++cnt].x = pt[a].x + b, eve[cnt].y1 = pt[a].y + b, eve[cnt].y2 = pt[a].y - b - 1, 
            eve[cnt].typ = 1, eve[cnt].ord = 2, eve[cnt].id = tot, eve[cnt].tim = cnt;
            mn = std::min(mn, std::min(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
            mx = std::max(mx, std::max(eve[cnt].x, eve[cnt].y1));
        }
    }
    if(mn <= 0) mn = -mn + 1;
    mx += mn;
    for (R int i = 1; i <=cnt; ++i) eve[i].x += mn, eve[i].y1 += mn, eve[i].y2 += mn;//加成正数
    std::sort(eve + 1, eve + 1 + cnt);
    cdq(1, cnt);
    for (R int i = 1; i <= tot; ++i) printf("%d\n", res[i].ans[2] - res[i].ans[1]);
}