贪心算法之贪心的加勒比海盗

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算法学习有些时候是枯燥的，这一次，让我们先人一步，趣学算法！欢迎记录下你的那些努力时刻（算法学习知识点/算法题解/遇到的算法bug/等等），在分享的同时加深对于算法的理解，同时吸收他人的奇思妙想，一起见证技术er的成长~

课前小故事

一、什么是贪心算法？

从前，有一个很穷的人救了一条蛇的命，蛇为了报答他的救命之恩，于是就让这个人提
出要求，满足他的愿望。这个人一开始只要求简单的衣食，蛇都满足了他的愿望，后来慢慢
的贪欲生起，要求做官，蛇也满足了他。这个人直到做了宰相还不满足，还要求做皇帝。蛇
此时终于明白了，人的贪心是永无止境的，于是一口就把这个人吞掉了。所以，蛇吞掉的是宰相，而不是大象。故此，留下了“人心不足蛇吞相”的典故。

一、什么是贪心算法？

贪心算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。贪心算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪心算法采用自顶向下，以迭代的方法做出相继的贪心选择，每做一次贪心选择，就将所求问题简化为一个规模更小的子问题，通过每一步贪心选择，可得到问题的一个最优解。虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪心算法不要回溯

1.1贪心本质
一个贪心算法总是做出当前最好的选择，也就是说，它期望通过局部最优选择一个贪心算法总是做出当前最好的选择，也就是说，它期望通过局部最优选择从而得到全局最优的解决方案。从而得到全局最优的解决方案.
《算法导论》 “算法导论”

1.2、贪心算法的基本思路

建立数学模型来描述问题
把求解的问题分成若干个子问题
对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解
把子问题的解局部最优解合成原来问题的一个解

1.3、该算法存在的问题

不能保证求得的最后解是最佳的
不能用来求最大值或最小值的问题
只能求满足某些约束条件的可行解的范围

1.4贪婪法的基本步骤：

步骤1：从某个初始解出发；
步骤2：采用迭代的过程，当可以向目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一部分解，缩小问题规模；
步骤3：将所有解综合起来。

1.5算法实现

从问题的某个初始解出发。
采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。
将所有部分解综合起来，得到问题的最终解。

二、实例分析

2.1问题描述
在北美洲南部，有一篇神秘的海域，那里碧海蓝天、阳光明媚。这正是传说中海盗最活跃的加勒比海。17世纪时，这里更是欧洲大陆的商旅舰队到达美洲的必经之地，所以当时的海盗活动非常猖獗，海盗不仅攻击过往商人，甚至攻击英国皇家舰…
有一天，海盗们截获了一艘装满各种各样古董的货船，每一件古董都价值连城，一旦打碎就失去了它的价值，虽然海盗船足够大，但载重量为C，没见古董的重量为wi，海盗们该如何把尽可能多数量的宝贝装上海盗船呢？

三、问题分析

根据问题描述可知这是一个可以用贪心算法求解的最优装载问题，要求装载的物品的数量尽可能多，而船的容量是固定的，那么优先把重量小的物品放进去，在容量固定的情况下，装的物品最多。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，从局部最优达到全局最优，从而产生最优装载问题的最优解。

3.1算法设计

（1）当载重量为定值C时，wi越小时，可装载的古董数量n越大。只要依次选择最小重量的古董，直到不能再装为止；
（2）把n个古董的重量从小到大（非递减）排序，然后根据贪心策略尽可能多地选出前i个古董，直到不能继续装为止，此时达到最优；

例如：

古董的重量清单

根据重量排完序的重量

按照贪心策略，每次选择重量最小的古董放入(mp代表古董的重量，ans 代表已装裁的古董个数。
i=0，选择排序后的第1个，装入重量tmp=2，不超过载重量30, ans=1。
i=l,选择排序后的第2个，装入重量tmp -2+3=5，不超过载重量30, ans =2。
i=2，选择排序后的第3个，装入重量tmp= -5+4-9,不超过载重量30，ans =3。
i=3，选择排序后的第4个，装入重量tmp= -9+5=14，不超过载重量30，ans =4。
i=4, 选择排序后的第5个，装入重量tmp-14+7=21, 不超过载重量30， ans =5。
i=5，选择排序后的第6个，装入重量tmp=21+10-31,超过载重量30，算法结束。
即放入古董的个数为ans=5个。

三、代码设计

3.2、数据结构定义

根据算法设计描述，我们用一维数组存储古董的重量：

double w[N];  //一维数组存储古董的重量

3.3、按重量排序

可以利用C++中的排序函数sort，对古董的重量进行从小到大（非递减）排序。要使用此函数需引入头文件：

#include <algorithm>

sort(begin, end)  //参数begin和end表示一个范围，分别为待排序数组的首地址和尾地址
//sort 函数默认为升序

在本例中只需要调用sort 函数对古董的重量进行从小到大排序：

sort(w, w+n);  //按古董重量升序排序

3.4、按照贪心策略找最优解

首先用变量ans记录已经装载的古董个数，tmp代表装载到船上的古董的重量，两个变量都初始化为0。然后按照重量从小到大排序，依次检查每个古董，tmp加上该古董的重量，如果小于等于载重量C，则令

ans++；否则，退出。

代码如下;

//tmp 代表装载到船上的古董的重量，ans 记录已经装载的古董个数
int tmp = 0, ans = 0;
for(int i=0; i<n; i++)
{
	tmp += w[i];
	if(tmp<=c)
		ans++;
	else
		break;
}

四、代码实战

例如：

#include <iostream>
#include <algorithm>
const int N = 1000005;
using namespace std;
double w[N];  //古董的重量数组
int main()
{
	double c;
	int n;
	cout<<"请输入载重量C及古董个数n："<<endl;
	cin>>c>>n;
	cout<<"请输入每个古董的重量，用空格分开："<<endl;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		cin>>w[i];  //输入每个物品重量
	}
	sort(w,w+n);
	//tmp 代表装载到船上的古董的重量，ans 记录已经装载的古董个数
	double tmp = 0.0;
	int ans = 0;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		tmp+=w[i];
		if(tmp<=c)
			ans++;
		else
			break;
	}
	cout<<"能装入的古董最大数量为ans=";
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
}

4.1、算法解析及优化拓展
1.算法复杂度分析
(1)时间复杂度:首先需要按古董重量排序，调用sort函数，其平均时间复杂度为O(nlogn),
输入和贪心策略求解的两个for语句时间复杂度均为O(m),因此时间复杂度为0(n + nlog())。
(2)空间复杂度:程序中变量tmp,ans等占用了一些辅助空间，这些助空间都是常数阶的，因此空复杂度为O(1)。
4.2、优化拓展
(1)这一个问题为什么在没有装满的情况下，仍然是最优解?算法要求装入最多数量，
假如c为5, 4个物品重量分别为1、3、5、7.排序后，可以装入1和3，最多装入两个。
分析发现是最优的，如果装大的物品，最多装一个或者装不下，所以选最小的先装才能装入
最多的数量，得到解是最优的。

4.3、欲知后事如何？请看下节解析

在伪代码详解的第3步“按照贪心策略找最优解”，如果把代码替换成下面代码，
有什么不同?
首先用变量ans记录已经装载的古董个数，初始化为m; tmp 代表装载到船上的古董的
重量，初始化为0。然后按照重量从小到大排序，依次检查每个古董，tmp 加上该古董的重
量，如果tmp大于等于载重量c,则判断是否正好等于载重量c,并令ans=i+1;否则ans=i,
退出。如果tmp小于载重量e，i++, 继续下一个循环。