「自控原理」3.3 稳定性与稳态误差、时域校正

本节介绍稳定性分析的原理以及代数稳定性判据（劳斯判据）
本节介绍系统稳态误差的定义及计算方法
本节介绍时域校正方法

---

以下内容，均针对线性系统

稳定性分析

稳定性的定义：
在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，如果扰动消除后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则系统不稳定。

稳定的充要条件与必要条件

充要条件

扰动发生后要求回到原来的平衡状态，也就是单位脉冲响应为0。（认为单位脉冲为典型扰动输入）
$\underset{t\to \infty }{\lim }k(t)=0$

$c_i$是$s=-p_i$处的留数。因此$\underset{t\to \infty }{\lim }k(t)=0$的充要条件是：特征根具有负实部，也就是系统的闭环极点全部位于左半s平面

必要条件

控制系统稳定的必要条件是：特征方程的各项系数具有相同的符号，且都不为0
在计算代数稳定判据之前可以先行做初步判断

劳斯判据-Routh

列出劳斯表：

特征方程各项按照幂次从高到低排序，劳斯表第一行是奇数项（第1，3，5，7，9项）系数。第二行是偶数项（第2，4，6，8，10项）系数。
之后第x行的第y个元素等于
$-\frac{1}{第x-1行的第一个元素}\cdot 第x-1和x-2行的第1和第i+1个元素组成的行列式$
计算到最后s¹、s⁰的时候，劳斯表一行只有一个元素。可以通过这个检查是否计算正确。

劳斯判据 ：劳斯表第一列元素符号改变次数=特征方程在右半平面内的根的个数。
因此，当劳斯表第一列元素具有相同的符号，则系统稳定。

在计算时，某一行元素同时乘或除某一个数不影响最终的稳定性结论，因此遇到分数或者过大的数，可以先去分母\约分处理以简化运算。（后面例题为了直观并没有这样操作）

例题

1. 用劳斯判据判断系统是否稳定
   
   判断稳定性的题，如果没有特殊要求一定先看是否满足必要条件。如果过不满足那么可以直接结论不稳定。
2. 用劳斯判据确定参数范围
   
   

两种特殊情况

某行的第一列为0，但这一行不全为0

使用一个很小的正数$\epsilon$代替0，继续运算

某一行全部为0

用上一行元素构建辅助方程，对s求导一次，用新方程的系数代替全零行的系数继续运算

出现全零行的一定是奇次行。

出现全零行有可能是：特征方程有以原点对称的实根、以原点对称的虚根、以虚轴对称的共轭复根。具体是哪一种，需要令辅助方程=0，求解。

问题辨析

1. 系统稳定性是系统自身的属性，与输入的类型、形式无关
2. 系统是否稳定，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。（闭环零点影响动态性能，但不影响稳定性。闭环极点决定系统稳定性，也影响动态性能）
   补：增加闭环零点：峰值时间靠前，超调量增大
   增加闭环极点：峰值时间靠后，超调量减小
3. 闭环系统稳定性与其开环是否稳定无关

稳态误差

稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。
误差包括永久性误差，比如由于参数漂移、元件老化等带来的误差，还有原理性误差，即由于系统结构、参数引入的误差。这里只讨论原理性误差
通常把阶跃输入下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统，反之称为有差系统

误差与稳态误差的定义

1. 按输入端定义的误差
   
2. 按输出端定义的误差
   
   两种定义本质上是一样的，如果再进一步推导，就有：
   $E^{\prime }(s)=\frac{E(s)}{H(h)}$

以下的分析都是基于输入端定义的误差进行的。

3. 稳态误差
   误差传递函数：${\Phi }_e=\frac{E(s)}{R(s)}$
   $e(t)={\mathcal{L}}^{-1}[E(s)]=r(t)-c(t)$
   由于系统输出分为暂态分量和稳态分量，因此误差也分为暂态分量和稳态分量：
   $e(t)=e_{ts}(t)+e_{ss}(t)$
   ts->temporary state
   ss->stable state，$e_{ss}=\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=e(\infty )$
   系统的稳态误差就是误差的稳态分量

计算稳态误差的一般方法

1. 判断系统稳定性「这一点非常重要，因为只有对稳定的系统研究稳态误差才有意义」
2. 求误差传递函数「可以用梅逊公式快速得结果」
3. 用终值定理求稳态误差

来看一道例题：

一般方法虽然实用但一般不会使用它。下面介绍静态误差系数法：

静态误差系数法

构建如下的系统：

开环传递函数$G(s)=\frac{K}{s^v}{G}_0(s)$
G₀化成尾1标准型所以K是开环增益
v是系统型别(就是一个分类标准，v=0叫做0型，v=1叫做1型)

仍然使用一般方法计算稳态误差。
根据不同的输入，分别代入求解，由此引出静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数的定义。

再根据不同的系统型别，分别计算出三个静态误差系数:

型别v	Kp	Kv	Ka
0	K	0	0
1	$\infty$	K	0
2	$\infty$	$\infty$	K

再带回，计算系统的稳态误差：

型别v	essp	essv	essa
0	$\frac{A}{1+K}$	$\infty$	$\infty$
1	0	$\frac{A}{K}$	$\infty$
2	0	0	$\frac{A}{K}$

有了这两个表，就可以很方便的计算系统的误差了，来看一道例题：

例题2:

从这道例题里面可以看出：按前馈补偿的复合控制方案可以提高系统的稳态精度

例题3:

从这道例题可以看出：在主反馈口到干扰作用点之前的前向通道中提高增益、引入积分环节，可以同时减小或消除输入和干扰作用下产生的稳态误差。。

例题4:

在这道例题里面，我们一定注意，在计算稳态误差等等性能指标之前，一定确定系统是稳定的。尤其是这种需要自定义参数的题目。

动态误差系数法

静态误差系数法只能求出最终的误差稳态值e_ss。而使用动态误差系数法可以研究误差中的稳态分量e_s(t)随时间的变换规律

首先把误差传递函数展开，称E(s)的泰勒展开为误差级数。$C_i=\frac{1}{i!}{\Phi }_e^{(i)}(0)$，称$C_i$为动态误差系数
按照定义来算的话，$C_i=\frac{1}{i!}{\Phi }_e^{(i)}(0)$但是这样的计算方法比较繁琐所以一般使用长除法：

（将开环传递函数按升幂排列才能除出级数的形式）

这个问题需要注意的是，即使稳态误差是无穷大，控制系统仍然是可用的。比如导弹的控制系统，导弹打出去几分钟就爆炸了，那么只要在这几分钟之内误差满足要求就好了。

扰动作用下的稳态误差

之前的讨论是从输入端直接有输入时造成的干扰。而接下来单独讨论某一个特定的扰动作用下产生的稳态误差。

其实分析方法都是一样的，使用的是动态误差系数法。不同在于传递函数变成了误差传递函数

时域校正

校正：采用适当的方式，在系统中加入一些校正装置，用以改善系统性能，使系统满足指标要求。
校正装置：结构和参数可调整的装置
校正方式：串连校正、反馈校正、复合校正

时域校正不怎么常用，了解即可

反馈校正

反馈的作用：
局部正反馈可以提高环节增益

增加局部正反馈之后系统增益变大，调节时间变长。

增加局部反馈之前，系统不稳定。而增加这个反馈之后系统变得稳定，也就是被校正了。

复合校正

复合校正就是串联校正加上反馈校正。串连校正前面没有讲过，其实就是加一个环节。
看下面这个例题：

在这道题里面，G₁G₂属于前馈校正元件，K₁是串连校正元件的增益，$\frac{1}{s}$是反馈校正元件。