【数模】拟合算法

拟合算法的介绍

拟合和插值问题的对比

• 回顾：【数模】插值算法
• 不同：
  • 插值算法： 得到的多项式f(x)要经过所有样本点。
    • 但若样本点太多，则该多项式次数过高，就会造成龙格现象。
  • 拟合问题：不用曲线一定经过给定的点。
    • 尽管分段可避免龙格现象，但多数情况更倾向得到确定曲线（即使其不经过每个样本点，但只要误差足够小即可 ⇒ 即拟合思想）

拟合问题的目标

• 寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近 ⇒ 即曲线拟合的最好（最小化损失函数）
• 拟合的结果：得到一个确定的曲线

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具体示例

• 题目：
  

最小二乘法确定拟合曲线

• 采用最小二乘法，找到使样本点和拟合曲线最接近的k和b
  
• 常见疑问：
  • 为什么第一种定义要加绝对值呢？
    • 绝对值表拟合曲线的y与实际y值的距离，若不加绝对值，会导致正负相抵消。
  • 为什么采用第二种定义中的二次方而不用第一种定义中的绝对值呢？
    • 因为有绝对值不容易求导，计算比较复杂。故不采用绝对值。
  • 为什么采用二次方而不是三次方/四次方呢？
    • 不采用奇数次方的原因：避免误差正负相抵。
    • 不采用四次方：
      • ①避免极端数据对拟合曲线的影响（如为了迎合极端数据，而过于偏离最接近的拟合曲线）。
      • ②最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致。

matlab求解最小二乘

• 由上计算得 k和b的求解式子：
• 具体代码如下：

clear;clc
load data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线
f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

matlab中的操作细节

• ①将excel中数据复制进matlab工作区时：注意不要把标头也复制进去
  
• ②保存工作区变量x和y：
  

拟合优度（可决系数）R² ⇒ 评价拟合好坏

介绍SST、SSE、SSR和R²

• 总体平方和SST：
  

• 误差平方和SSE：
  

  • SSE会存在量纲的影响（如y单位是万元和元时，结果不同）
  • 对SSE取舍的思考：
    • 拟合函数f(x)越复杂（次数越高），SSE越小（如用二元比用一元SSE小），但采用拟合初心是为了找到相对简单的模型。
    • 选用的拟合函数：要简单（不能为了让SSE尽量地小，而选用非常复杂的拟合函数）

• 回归平方和SSR：
  

• 可证：SST = SSE + SSR

• 拟合优度R²：
  

  • R²越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小 ⇒ 说明拟合的越好。
  • 注意：R²只能用于拟合函数是 线性函数 时 ，拟合结果的评价 ⇒ 不滥用R²（除非拟合函数能确定是线性函数，否则老实用SSE）
    • 线性函数和其他函数（例如复杂的指数函数）比较拟合的好坏，直接看误差平方和SSE即可
    • R²也可能出现负数，负数时更暗示SST = SSE + SSR 不成立

• 线性函数的介绍：

  • 此处的线性函数是指 对参数为线性（线性于参数） ：在函数中，参数仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数（如：y=a/(x-b)²； 不是线性函数），并不能出现参数的复合函数形式（如：y=asin(b+cx) 不是线性函数）。
  • 故 y = a + bx² 和 y= e^β1+β2x ，也是线性函数（因为参数都是1次幂，且不存在乘/除/复合形式）

计算拟合优度的代码

y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) %回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) %误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) %总体平方和；mean()是求均值的函数。
SST-SSE-SSR
R_2 = SSR / SST

• SST-SSE-SSR计算结果为5.6843e-14=5.6843*10^(-14) ⇒ matlab浮点数计算的误差（极小可以忽略）

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matlab曲线拟合工具箱的使用

• 打开方式：
  • ①
    
  • ②
    
• 拟合工具箱的介绍：
  • Adjusted square：调整后的拟合优度。⇒ #待补充（学习回归时）
  • RMSE：均方误差 。⇒ #待补充（学习预测模型时）
  • 拟合方法的选择有多种，以下是两种常见的：
    • Polynomial：多项式拟合。（可以自定义多项式次幂）
    • Custom Equation：自定义拟合方程。
      • 如： y=f(x)=k*x+b ; 和y=f(x)=a+b*x+c*x^2 ⇒ 自己权衡
  • 中心化公式：

• 存图方式
  • ①截图（可能不够高清）
  • ②高清导出（图片清晰度可以在“导出设置→渲染→分辨率”中调整，分辨率越高，图越清晰，相对于图片文件大小更大）
• 保存并调用工具箱代码
  • 保存代码：
  • 在主代码文件下执行拟合工具箱：
    
  • 可添加进论文附录的代码部分，及修改建议：

拟合工具箱示范用例

示例1：利用拟合工具箱预测美国人口

• 运用拟合工具箱
  
• 数据分析
  • 题目给的函数并非线性函数，R²没有参考意义，故看SSE
  • SSE=1225，看起来数值很大，但由于题目中原始数据本身就大，且SSE还是平方的结果，所以其实拟合效果还不错了。
    

示例2：自行模拟数据进行演示

• 随机数生成的规则
  • （1）randi : 产生均匀分布的随机整数

  %产生一个1至10之间的随机矩阵，大小为2x5；
  s1 = randi(10,2,5);
  %产生一个-5至5之间的随机矩阵，大小为1x10；
  s2 = randi([-5,5],1,10);
  

  • （2） rand: 产生均匀分布的随机数

  %产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
  s3 = rand(1,5);
  %产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5；
  % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
  s4= 2 + (5-2) * rand(1,5);
  

  • （3）normrnd:产生正态分布的随机数

  %产生一个均值为0，标准差为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
  s5 = normrnd(0,2,3,4);
  

  • （4）roundn—任意位位置四舍五入

  a = 3.1415
  roundn(a,-2) % ans = 3.1400
  roundn(a,2) % ans = 0
  a =31415
  roundn(a,2) % ans = 31400
  

• 具体模拟数据演示及拟合效果：
  

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课后习题

• 题目：根据data2中的中国人口数据，确定你认为最合适的拟合函数，并说明原因。
  

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附言

• 参考课程可见 B站清风数模，如上仅作个人学习后笔记整理。