三次B样条曲线拟合算法

1 三次B样条曲线方程

B样条曲线分为近似拟合和插值拟合，所谓近似拟合就是不过特征点，而插值拟合就是通过特征点，但是插值拟合需要经过反算得到控制点再拟合出过特征点的B样条曲线方程。这里会一次介绍两种拟合算法。首先介绍B样条的曲线方程。
B样条曲线的总方程为： $P(t)=\sum_{i=0}^{n} P_{i}F_{i,k}(t)$ (1)
其中 $P_i$ 是控制曲线的特征点， $F_{i,k}(u)$ 则是K阶B样条基函数。
* 1.1 三次B样条曲线方程中基函数为*：
$F_{i,k}(t)=\frac{1}{k!}\sum_{m=0}^{k-i}(-1)^{m}\binom{m}{k+1}(t+k-m-j)^k$ (2)
其中 $\binom{m}{k+1}$ 表示阶乘，化成看的明白的式子就是：
这里写图片描述
将图片上的基函数代入到方程（1）中，就是：
$P(t)= P_0*F_{0,3}(t)+P_1*F_{1,3}(t)+P_2*F_{2,3}(t)+P_3*F_{3,3}(t)$ (3)
方程（3）就是三次B样条曲线方程。

2 三次B样条曲线近似拟合

近似拟合很简单。不需要求控制点，求得 $F_{i,k}(t)$ ，由上述方程（3），代入 $P_0,P_1,P_2,P_3$ 就可以得到由这四个点近似拟合的一段三次B样条曲线，起始点在 $P_0$ ，终点在 $P_1$ ，对于闭合轮廓，最后一段可以取前两点做辅助，拟合实验结果我最后一块给出。这种近似拟合曲线光滑，但是最大不足就是不过特征点，也就是不过 $P_i$ ，需要过点需要反求控制点再拟合。

3 三次B样条插值拟合

插值拟合较为复杂。其实也不算是很复杂，找资料过程和理解过程是一个复杂的过程。不过有了前面大神做工作，我们只是借用别人的成果写代码就好了。我给大家看一篇论文，大家可以百度或者去知网搜索，闭合 B 样条曲线控制点的快速求解算法及应用。文章讲解了反求控制点的具体步骤，写的非常详细，基本上贴近代码的那种。大家可以根据这篇论文反求控制点，拟合出来的三次B样条曲线是经过 $P_i$ 的。代码就不放了，很多，可以根据我给的那篇论文直接编写相应代码，有问题可以私信我，知无不言。

4 拟合结果

这里写图片描述原轮廓
近似拟合轮廓。可以看到没过黑色特征点，只是近似拟合
插值拟。可以看到曲线经过黑色特征点，不过有一些不足之处。

5 总结

三次B样条曲线拟合轮廓效果还是可以，较之Beizer（可以参考我博客三次Beizer曲线拟合算法），B样条将一些细节描述的很好，很多细节之处都贴近原轮廓，但是有一些不足之处，可以看到对直线拟合效果不是很好。两篇博客都是关于闭合轮廓的拟合，对于非闭合或者只是一段曲线拟合，还有一种曲线是很好的，《数值分析》提到过，叫三次样条插值拟合，拟合效果很好，我做过拟合一元三次方程曲线，拟合效果跟原曲线非常贴近，不过过程中需要用到追赶法，而追赶法需要满足一个条件，对于闭合曲线三次样条插值是不满足这个条件的，所以我没去深研究，大家可以去试一试。谢谢大家！