【HDU4336】Card Collector-Min-Max容斥

测试地址：Card Collector
题目大意：$n$张牌，每次有$p_i$的概率抽到第$i$张牌，问抽到过所有的牌所需的期望次数。
做法：本题需要用到Min-Max容斥。
很久之前我写过这题的状压DP写法，那个做法时间复杂度为$O(n2^n)$，空间复杂度为$O(2^n)$，而今天本人学会了一种新的做法：Min-Max容斥，这个做法比状压DP更加优美一些。
Min-Max容斥，又称最值反演，是指下面这个式子：
$\max\{S\}=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\}$
其中$S,T$为集合，$\max\{S\},\min\{S\}$表示集合$S$的最大元素和最小元素。先别急着质问这个式子有什么卵用，我们先看看这个式子是怎么来的。
尝试证明右边等于左边。令$x=\max\{S\}$，我们有一个关于集合$T$的映射$f(T)$，定义为：若集合$T$中包含$x$，则$f(T)$就是$T$去掉$x$后的集合，否则$f(T)$就是$T$加上$x$后的集合。显然这个映射有这样一个性质：$f(f(T))=T$，那么$T$和$f(T)$就是一一对应的关系。除去空集和$\{x\}$两个集合的对应，其它的对应关系中，两个集合的大小正好差$1$，而它们的最小值都相同，所以根据上面的式子，它们相互抵消。而空集没有最小值，所以整个右边式子的值就等于$\{x\}$这个集合的贡献：$x$，即$\max\{S\}$。
说了这么多，这个式子在这题中有什么用呢？Min-Max容斥有一个非常重要的推论：
$E[\max\{S\}]=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|+1}E[\min\{T\}]$
其中$E[x]$表示$x$的期望，证明应该显然。而这个式子更常用的意义是这样的：给$S$中每个元素随机赋值，表示这个元素第一次被取到的时间，那么$E[\min\{S\}]$的意义就变成$S$中第一个被取的元素的期望被取时间，$E[\max\{S\}]$的意义就变成$S$中最后一个被取的元素的被取期望时间，也就是$S$中所有元素都被取过所需的期望时间。我们发现这个时间就相当于取的次数，所以也就是期望次数。
这个推论在这题中就非常有用了，因为本题中$E[\min\{S\}]=\frac{1}{\sum_{i\in S}p_i}$，所以我们只需$O(2^n)$枚举集合即可算出$E[\max\{S\}]$，空间复杂度也很小（$O(n)$），可以说是比状压DP优美很多了。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double p[25],ans;

void solve(int step,int cnt,double totp)
{
    if (step>n)
    {
        if (!cnt) return;
        double f=(cnt%2)?1.0:-1.0;
        ans+=f/totp;
        return;
    }
    solve(step+1,cnt,totp);
    solve(step+1,cnt+1,totp+p[step]);
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf",&p[i]);
        ans=0.0;
        solve(1,0,0.0);
        printf("%.6lf\n",ans);
    }

    return 0;
}