【博弈论笔记】第六章 不完全信息静态表示

此部分博弈论笔记参考自经济博弈论（第四版）/谢识予和老师的PPT，是在平时学习中以及期末备考中整理的，主要注重对本章节知识点的梳理以及重点知识的理解，细节和逻辑部分还不是很完善，可能不太适合初学者阅读（看书应该会理解的更明白O(∩_∩)O哈哈~）。现更新到博客上供大家浏览，希望能够帮助到正在学习博弈论的大家。

第六章 不完全信息静态表示

6.1 不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡

在一个静态博弈中，至少有一个博弈方不完全清楚其他某些博弈方的策略或得益等信息，但知道其策略或得益等信息空间的概率分布，这种博弈叫不完全信息静态博弈，也叫贝叶斯博弈。

6.1.1 不完全信息静态博弈的例子

1. 暗标拍卖

   暗标拍卖通常有这样几个基本特征:(1)密封递交标书; (2)统一时间公证开标; (3) 标价最高者以所报标价中标。

   • 由于博弈方的标书密封递交和同时开标, 各博弈方在选择策略之前都无法知道其他博弈方策略, 而且是一次性选择, 因此这是静态博弈问题。
   • 各博弈方无法知道确知其他博弈方拍得标的物的得益，最多能根据一般情况或以往经验作大致判断。 这意味着, 暗标拍卖博弈是不完全信息博恋, 且是不完全信息静态博弈。

2. 古诺模型

   • 假设：两寡头同时作产量 决策, 市场需求为 $P(Q)=a-Q,Q=q_1+q_2$ 为市场总产量, $q_1、q_2$ 分别是两个厂商产量。厂商 1 成本函数 $C_1=C_1\left(q_1\right)=c_1{q}_1$, 即无固定成本, 边际成本为 $c_1$, 这是两个厂商都知道的。厂商 2 的成本有两种可能情 况, 一种 $C_2=C_2\left(q_2\right)=c_H{q}_2$, 另一种 $C_2=C_2\left(q_2\right)=c_L{q}_2$, 而 $c_H>c_L$, 究 竟是哪种成本厂商 2 自己知道,厂商 1 只知道前一种的概率 $\theta$, 后一种的概率 $1-\theta$ 。

   • 分析：

     • 当高成本, $q_2{}^{\ast }\left(c_H\right)$ 满足： ${\max }_{q_2}\left[\left(a-q_1-q_2\right)-c_{\mathrm{H}}\right]q_2$
     • 当低成本, ${\mathbf{q}}_2{}^{\ast }\left({\mathbf{c}}_{\mathbf{L}}\right)$ 满足： ${\max }_{q_1}\left[\left(a-q_1-q_2\right)-c_L\right]q_2$
     • 厂商一的策略： max ⁡ q 1 { θ [ a − q 1 − q 2 ∗ ( c H ) − c 1 ] q 1 + ( 1 − θ ) [ a − q 1 − q 2 ∗ ( c L ) − c 1 ] q 1 } \max _{q_1}\left\{\theta\left[a-q_1-q_2^{*}\left(c_H\right)-c_1\right] q_1+(1-\theta)\left[a-q_1-q_2^*({c_L})-c_1\right] q_1\right\} maxq1​​{ θ[a−q1​−q2∗​(cH​)−c1​]q1​+(1−θ)[a−q1​−q2∗​(cL​)−c1​]q1​}

   • 求解：三个式子各自求极值，然后联立求解，得：
     $$\begin{array}{rl}& q_2^{\ast }\left(c_H\right)=\frac{a-2c_H+c_1}{3}+\frac{1-\theta }{6}\left(c_H-c_L\right)\\ & q_2^{\ast }\left(c_L\right)=\frac{a-2c_L+c_1}{3}-\frac{\theta }{6}\left(c_H-c_L\right)\\ & q_1^{\ast }=\frac{a-2c_1+\theta c_H+(1-\theta )c_L}{3}\end{array}$$

   • 讨论:当$c_2=c_H$时，$q_2^{\ast }(c_H)>q_2^{\ast }$，当$c_2=c_L$时，$q_2^{\ast }(c_L)<q_2^{\ast }$.

     当厂商2实际高成本时，他本应生产较少，但他考虑到对方不知道自己高成本, 所以对方选择的产量会小于知道自已高成本时的最佳产量, 因此自己可以适当多生产一些。

6.1.2 不完全信息静态博弈的一般表示

在完全信息静态博弈时，我们将其表示为： G = { S 1 , ⋯   , S n ; u 1 , ⋯   , u n } G=\left\{S_1, \cdots, S_n ; u_1, \cdots, u_n\right\} G={ S1​,⋯,Sn​;u1​,⋯,un​},

其中 $S_i$ 是博弈方 $i$ 的策略空间, 即全部可选策略的集合, $u_i$ 是其得益函数 $u_i=u_i\left(s_1,\cdots ,s_n\right)$ 。

到了不完全信息静态博弈中，需要表示信息的不完全性，用$T$来表示： $t_i$ 表示博弈方 $i$ 的类型, $T$ ，表示博弈方 $i$ 的类型空间 $t_i\in T_i,u_i\left(a_1,\cdots ,a_n,t_i\right)$ 表示博弈方 $i$ 在策略组合 $\left(a_1,\cdots ,a_n\right)$ 下的得益。信息不完全可以通过 $t_i$ 的取值只有博弈方 $i$ 知道而其他博弈方不清楚这一情况来反映。

另一个需要添加的是博弈方对不完全信息概率的判断：如果用博弈方$i$ 在自己类型为 $t_i$ 的前提下, 对其他博弈方类型的所有可能(或类型组合) $=(t_1,\cdots$ $t_{i-1},t_{i+1},\cdots ,t_n)$ 的条件概率 p i = p i { t − i ∣ t i } p_i=p_i\left\{t_{-i} \mid t_i\right\} pi​=pi​{ t−i​∣ti​}, 作为反映不完全信息的概率判断, 则可用 G = { A 1 , ⋯   , A n ; T 1 , ⋯   , T n ; p 1 , ⋯   , p n ; u 1 , ⋯   , u n } G=\left\{A_1, \cdots, A_n ; T_1, \cdots, T_n ; p_1, \cdots, p_n ; u_1, \cdots ,u_n\right\} G={ A1​,⋯,An​;T1​,⋯,Tn​;p1​,⋯,pn​;u1​,⋯,un​}表示不完全信息静态博弈问题。

以不完全信息古诺博弈为例：
 厂商  1  的行动空间-  A 1 = { q 1 }  厂商  2  的行动空间-  A 2 = { q 2 }  厂商  1  的类型空间-  T 1 = { c 1 }  厂商  2  的类型空间-  T 2 = { c H , c L }  厂商  1  的得益- -  u 1 = π 1 ( q 1 , q 2 , t 1 )  厂商  2  的得益–  u 2 = π 2 ( q 1 , q 2 , t 2 )  厂商  1  条件概率-  p 1 { c H ∣ c 1 } = θ ; p 1 { c L ∣ c 1 } = 1 − θ  厂商  2  条件概率-  p 2 { c 1 ∣ c H } = 1 ; p 2 { c 1 ∣ c L } = 1 \begin{aligned} & \text { 厂商 } 1 \text { 的行动空间- } A_1=\left\{q_1\right\} \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的行动空间- } A_2=\left\{q_2\right\} \\ & \text { 厂商 } 1 \text { 的类型空间- } T_1=\left\{c_1\right\} \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的类型空间- } T_2=\left\{c_H, c_L\right\} \\ & \text { 厂商 } 1 \text { 的得益- - } u_1=\pi_1\left(q_1, q_2, t_1\right) \\ & \text { 厂商 } 2 \text { 的得益-- } u_2=\pi_2\left(q_1, q_2, t_2\right)\\ & \text { 厂商 } 1 \text { 条件概率- } p_1\{c_H|c_1\}=\theta;p_1\{c_L|c_1\}=1-\theta\\ &\text { 厂商 } 2 \text { 条件概率- } p_2\{c_1|c_H\}=1; p_2\{c_1|c_L\}=1 \end{aligned} ​ 厂商 1 的行动空间- A1​={ q1​} 厂商 2 的行动空间- A2​={ q2​} 厂商 1 的类型空间- T1​={ c1​} 厂商 2 的类型空间- T2​={ cH​,cL​} 厂商 1 的得益- - u1​=π1​(q1​,q2​,t1​) 厂商 2 的得益– u2​=π2​(q1​,q2​,t2​) 厂商 1 条件概率- p1​{ cH​∣c1​}=θ;p1​{ cL​∣c1​}=1−θ 厂商 2 条件概率- p2​{ c1​∣cH​}=1;p2​{ c1​∣cL​}=1​

6.1.3 海萨尼均衡

海萨尼( Harsanyi )1967年提出将“不完全信息静态博弈” 转化为“完全但不完美信息动态博弈”:

• 第一步：引进虚拟博弈方 “自然”, “自然”进行动态博弈第一阶段的行动选择
  • “自然” 为每个博弈方随机选择类型 $t=\left(t_1,\dots ,t_n\right)$其中 $t_i\in T_i,i=1,\cdots ,n$
• 第二步：表示不完全信息
  • 每个博弈方知道自己的类型，但不知道“自然”为其他博弈方选择的类型，只知道所选类型的概率分布。
• 第三步：博弈方在动态博弈第二阶段进行原来的静态博弈$a_1,\dots ,a_n$
• 第四步：表示得益
  • 除 “自然” 博弈方外, 其余博弈方各自得益 $u_i=u_i(a_1,\dots ,a_n$, $t_i)$

在作了海萨尼转换之后, 仍然有对 “类型” 的判断问题。但这时对类型的判断形式上变成了对博弈进程,即 “自然”对实际博弈方类型选择的判断, 其概率分布与类型的概率分布相同, 即 “自然”以概率分布 $p_1,\cdots$, $p_n$ 分别选择 $t_1,\cdots ,t_n$ 。

6.1.4 贝叶斯纳什均衡

将纳什均衡推广到不完全信息静态博弈中，基本思想与完全信息静态博弈的纳什均衡是一样的, 各博弈方的策略必须是对其他博弈方策略(或策略组合)的最佳反应。不同的是, 这里的策略比完全信息静态博弈复杂一些,不是简单的行为选择,而是由类型决定行为选择的函数。这种策略有新含义的纳什均衡, 称为 “贝叶斯纳什均衡”。

定义在不完全信息静态博弈 G = { A 1 , ⋯   , A n ; T 1 , ⋯   , T n G=\left\{A_1, \cdots, A_n ; T_1, \cdots, T_n\right. G={ A1​,⋯,An​;T1​,⋯,Tn​; $p_1,\cdots ,p_n;u_1,\cdots ,u_n\}$ 中, 如果对任意博弈方 $i$ 和他的每一种可能的类型 $t_i\in T_i$, 策略函数$S_i^{\ast }\left(t_i\right)$ 所对应的行动 $a_i$ 都能最大化其期望得
益：
$$\underset{a_i\in A_i}{\max }\sum _{t=i}\left\{u_i\left[S_i^{\ast }\left(t_1\right),\cdots ,S_{i-1}^{\ast },a_i,S_{i+1}^{\ast }\left(t_{i+1}\right),\cdots ,S_n^{\ast }\left(t_n\right),t_i\right]p\left(t_{-i}\mid t_i\right)\right\}$$
则称策略组合 $S^{\ast }=\left(S_1^{\ast },\cdots ,S_n^{\ast }\right)$ 为 $G$ 的一个 (纯策略) 贝叶斯纳什均衡。

另：即使某博弈方清楚自己的实际类型$t_i$，但仍需对每种可能类型$t_i\in T_i$都设定行动：因为别的博弈方的行为要根据本博弈方的不同类型来计算

例：

6.2 暗标拍卖

1. 假设：

   (1) 两投标者：博弈方1、博弈方 2
   (2) 两博弈方对拍品估价: $v_1,v_2$
   (3) 若标价$b_i$ 中标, 其得益: $v_i-b_i$
   (4) 各博弈方不知对方估价, 但知对方估价是 $[0,1]$ 上的均匀分布，即取 $[0,1]$ 中任何数值的概率相等。
   (5) 博弈方都风险中性：一单位期望得益和一单位确定性得益价值相同。

2. 表示为不完全信息静态博弈

   把上述问题表示为标准的不完全信息静态博弈, 需要找出两个博弈方的行为空间、类型空间、判断和得益函数。

   • 行为空间：博弈方$i$的行为就是自己的标价$b_i$,其中$0\le b_i\le v_i\le 1$

   • 类型空间：博弈方 $i$ 的类型即自己的估价 $v_i$, 类型空间 $T_i$ 就是 估价可能取值区间 $[0,1]$

   • 判断：博弈方知道对方的类型是$[0,1]$ 上的 标准分布, 这就是他们对对方类型的判断。

   • 得益函数：
     $$u_i=u_i\left(b_1,b_2,v_1,v_2\right)=\{\begin{array}{c}{v}_i-b_i,\text{ 当 }{b}_i>b_j\\ \left(v_i-b_i\right)/2,\text{ 当 }{b}_i=b_j\\ 0,\text{ 当 }{b}_i<b_j\end{array}$$
     式中 $i=1$ 时 $j=2,i=2$ 时 $j=1$ 。

3. 寻找贝叶斯纳什均衡

   • 先要构筑两博弈方的策略空间，即根据类型决定行为的函数关系：

     本博弈中, 博弈方 $i$ 的策略是符合要求的函数关系 $b_i\left(v_i\right)$, 所有这种函数关系 $b_i\left(v_i\right)$ 的集合构成博弈方 $i$ 的策略空间。

   • 分析贝叶斯均衡

     策略组合 $\left[b_1\left(v_1\right),b_2\left(v_2\right)\right]$ 是一个贝叶斯纳什均 衡, 意味着博弈方 1 的策略 $b_1\left(v_1\right)$ 与博弈方 2 的策略 $b_2\left(v_2\right)$ 相互是对对方的最佳反应,对每个博弈方 $i$ 的每个类型 $v_i\in [0,1],b_i\left(v_i\right)$ 都满足中标的期望得益最大化：
     Max ⁡ b i { [ v i − b i ( v i ) ] P ( b i > b j ) + 1 / 2 [ v i − b i ( v i ) ] P ( b i = b j ) } \operatorname{Max}_{b_i}\left\{\left[v_i-b_i\left(v_{\mathrm{i}}\right)\right] P\left(b_i>b_j\right)+1 / 2\left[v_i-b_i\left(v_{\mathrm{i}}\right)\right] P\left(b_i=b_j\right)\right\} Maxbi​​{ [vi​−bi​(vi​)]P(bi​>bj​)+1/2[vi​−bi​(vi​)]P(bi​=bj​)}

4. 实例：线性策略函数的贝叶斯纳什均衡

   • 假设博弈方的报价：由基价和估价的一个固定比例组成，即：
     $$b_1\left(v_1\right)=a_1+c_1{v}_1,b_2\left(v_2\right)=a_2+c_2{v}_2$$
     其中$a_1<1、a_2<1$; $c_1\ge 0、c_2\ge 0$

   • 简化：由于 $v_j$ 服从标准分布, $b_j=b_j\left(v_j\right)=a_j+c_j{v}_j$, 也服从标准分布, 因此 P { b i = b j } = 0 P\left\{b_i=b_j\right\}=0 P{ bi​=bj​}=0（概率趋近于0） 。这样上式变为:
     max ⁡ b i ( v i − b i ) P { b i > a j + c j v j } = max ⁡ b i ( v i − b i ) P { v j < b i − a j c j } = max ⁡ b i ( v i − b i ) b i − a j c j \begin{aligned} & \max _{b_i}\left(v_i-b_i\right) P\left\{b_i>a_j+c_j v_j\right\} \\ = & \max _{b_i}\left(v_i-b_i\right) P\left\{v_j<\frac{b_i-a_j}{c_j}\right\} \\ = & \max _{b_i}\left(v_i-b_i\right) \frac{b_i-a_j}{c_j} \end{aligned} ==​bi​max​(vi​−bi​)P{ bi​>aj​+cj​vj​}bi​max​(vi​−bi​)P{ vj​<cj​bi​−aj​​}bi​max​(vi​−bi​)cj​bi​−aj​​​
     求一阶导可得：$b_i=\left(a_j+v_i\right)/2$

   • 分析：

     当 $v_i<a_j$ （博弈方 $i$ 估价小于博弈方 $j$ 的基价）则博弈方 $i$ 一定不会中标，所以$v_i$大小至少为$a_j$才有希望，综合来看，$v_i$的最佳反应为：
     $$b_i\left(v_i\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{v_i+a_j}{2}& \text{ 当 }{v}_i⩾a_j\\ a_j& \text{ 当 }{v}_i<a_j\end{array}$$
     若要求双方策略是严格的线性函数，可以要求$a_j\le 0$，这样$v_i$的最佳反应变为：
     $$b_i\left(v_i\right)=\frac{v_i+a_j}{2}$$
     将此式与之前的策略空间$b_i\left(v_i\right)=a_i+c_i{v}_i$相比较，最终可得$a_i=a_j / 2, c_i=1 / 2 $，另一个博弈方同理，联立得最终结果：
     $$a_i=a_j=0,c_i=c_j=1/2$$
     计算出$b_i=v_i/2$,即博弈方最佳策略：把报价定为对拍品估价的一半。

上述贝叶斯纳什均衡是在上述暗标拍卖博弈中, 双方采用线性策略时唯一的贝叶斯纳什均衡。如果没有限定采用线性策略, 贝叶斯纳什均衡会发生改变。如果博弈方估价的概率分布不是上述标准分布, 暗标拍卖博弈的贝叶斯纳什均衡也会发生变化。此外,参与投标人数更多时情况也要更复杂一些,但分析思路是相同的。

Summary

此部分用于对所学内容的快速梳理记忆

1. 不完全信息静态博弈和贝叶斯纳什均衡

   • 暗标拍卖和古诺模型两个例子的简要介绍

   • 一般表示方法 G = { A , T , p , u } G=\{A,T,p,u\} G={ A,T,p,u}

   • 海撒尼均衡的四个转化步骤

     • 引进博弈方自然
     • 表示不完全信息
     • 博弈方进行静态博弈
     • 表示得益

   • 贝叶斯纳什均衡：一种更强的概念：

     如果对任意博弈方 $i$ 和他的每一种可能的类型 $t_i\in T_i$, 策略函数$S_i^{\ast }\left(t_i\right)$ 所对应的行动 $a_i$ 都能最大化其期望得益

     $$\underset{a_i\in A_i}{\max }\sum _{t=i}\left\{u_i\left[S_i^{\ast }\left(t_1\right),\cdots ,S_{i-1}^{\ast },a_i,S_{i+1}^{\ast }\left(t_{i+1}\right),\cdots ,S_n^{\ast }\left(t_n\right),t_i\right]p\left(t_{-i}\mid t_i\right)\right\}$$
     联想古诺模型中的 max ⁡ q 1 { θ [ a − q 1 − q 2 ∗ ( c H ) − c 1 ] q 1 + ( 1 − θ ) [ a − q 1 − q 2 ∗ ( c L ) − c 1 ] q 1 } \max _{q_1}\left\{\theta\left[a-q_1-q_2^{*}\left(c_H\right)-c_1\right] q_1+(1-\theta)\left[a-q_1-q_2^*({c_L})-c_1\right] q_1\right\} maxq1​​{ θ[a−q1​−q2∗​(cH​)−c1​]q1​+(1−θ)[a−q1​−q2∗​(cL​)−c1​]q1​}

     求和实际上是求期望

2. 暗标拍卖

   • 从行为空间、类型空间、判断、得益函数四个方面去考虑，表示成不完全信息博弈
   • 进行贝叶斯纳什均衡分析，首先要构筑博弈方的策略空间，之后进行分析。