NOIP-2023模拟题

全国青少年信息学奥林匹克竞赛

NOIP2023模拟

时间：8:00-12:30

题目名称	异或	游戏	连通块	公交路线
题目类型	传统型	传统型	传统型	传统型
目录	$\text{xor}$	$\text{game}$	$\text{connect}$	$\text{route}$
可执行文件名	$\text{xor}$	$\text{game}$	$\text{connect}$	$\text{route}$
输入文件名	$\text{xor.in}$	$\text{game.in}$	$\text{connect.in}$	$\text{route.in}$
输出文件名	$\text{xor.out}$	$\text{game.out}$	$\text{connect.out}$	$\text{route}$
每个测试点时限	$ 1.0$秒	$ 1.0$秒	$2.0$秒	$1.0$秒
内存限制	$\text{512 MB}$	$\text{512 MB}$	$\text{512 MB}$	$\text{512MB}$
子任务数目	$\text{10}$	$\text{20}$	$\text{25}$	$\text{20}$
测试点是否等分	是	是	是	是

提交源程序文件名

对于C++语言	$\text{xor.cpp}$	$\text{game.cpp}$	$\text{connect.cpp}$	$\text{route.cpp}$

编译选项

对于C++语言	$\text{-lm -std=c++14 -O2}$

注意事项与提醒（请选手务必仔细阅读）

​ $1$. 选手提交的源程序必须存放在已建立好的，且带有样例文件和下发文件的文件夹中，文件夹名称与对应试题英文名一致。
​ $2$. 文件名（包括程序名和输入输出文件名）必须使用英文小写。
​ $3.$ $\text{C++}$ 中函数 $\text{main()}$ 的返回值类型必须是 $\text{int}$, 值必须为 $0$。
​ $4$. 对于因未遵守以上规则对成绩造成的影响，相关申诉不予受理。
​ $5$. 若无特殊说明，结果比较方式为忽略行末空格、文末回车后的全文比较。
​ $6$. 程序可使用的栈空间大小与该题内存空间限制一致。
​ $7$. 在终端中执行命令 $\text{ulimit -s unlimited}$ 可将当前终端下的栈空间限制放大，但你使用的栈空间大小不应超过题目限制。
​ $8$. 每道题目所提交的代码文件大小限制为 $\text{100KB}$。
​ $9$. 若无特殊说明，输入文件与输出文件中同一行的相邻整数均使用一个空格分隔。
​ $10$. 输入文件中可能存在行末空格，请选手使用更完善的读入方式（例如 $\text{scanf}$ 函数）避免出错。
​ $11$. 直接复制 $\text{PDF}$ 题面中的多行样例，数据将带有行号，建议选手直接使用对应目录下的样例文件进行测试。
​ $12$. 使用 $\text{std:deque}$ 等 $\text{STL}$ 容器时，请注意其内存空间消耗。
​ $13$. 请务必使用题面中规定的的编译参数，保证你的程序在本机能够通过编译。此外不允许在程序中手动开启其他编译选项，一经发现， 本题成绩以 $0$ 分处理。

异或（xor）

【问题描述】

​ 考虑一个 $n\ast n$ 的矩阵 $A$，初始所有元素均为 $0$。

​ 执行 $q$ 次如下形式的操作：给定 $4$ 个整数 $r,c,l,s$ ，对于每个满足 $x\in [r,r+l),$ $ y\in[c,x-r+c]$ 的元素 $(x,y)$ ，将权值增加 $s$ 。也就是，给一个左上顶点为 $(r,c)$ 、直角边长为 $l$ 的下三角区域加上 $s$。

​ 输出最终矩阵的元素异或和。

【输入格式】

​ 第一行两个整数 $n,q$。

​ 接下来 $q$ 行，每行四个整数 $r,c,l,s$，代表一次操作。

【输出格式】

​ 输出一行，一个整数，代表答案。

【样例输入1】

10 4
1 1 10 1
5 5 4 4
1 9 4 3
3 3 5 2

【样例输出1】

0

【样例解释1】

​ 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0
​ 1 1 0 0 0 0 0 0 3 3
​ 1 1 3 0 0 0 0 0 3 3
​ 1 1 3 3 0 0 0 0 3 3
​ 1 1 3 3 7 0 0 0 0 0
​ 1 1 3 3 7 7 0 0 0 0
​ 1 1 3 3 7 7 7 0 0 0
​ 1 1 1 1 5 5 5 5 0 0
​ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
​ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

【样例2】

​ 见下发文件中。

【数据范围及约定】

​ 保证 $n\in [1,10^3]，q\in [0,3\ast 10^5]，r,c,l\in [1,n],s\in [1,10^9]。$

子任务编号	$n\le$	$q\le$	其他限制	分值
$1$	$10^3$	$0$	无	$5$
$2$	$3\ast 10^2$	$4\ast 10^2$	无	$20$
$3$	$10^3$	$2\ast 10^3$	无	$25$
$4$	$10^3$	$3\ast 10^5$	$保证r+l=n+1且c=1$	$15$
$5$	$10^3$	$3\ast 10^5$	$保证r+l=n+1$	$15$
$6$	$10^3$	$3\ast 10^5$	无	$20$

游戏（game）

【问题描述】

​ $\text{Alice}$ 和 $\text{Bob}$ 又在一起在玩游戏，这次游戏的规则是：

​ $1$. $\text{Alice}$ 先手， $\text{Bob}$ 后手，轮流进行操作，共有 $m$ 轮操作，有一个集合初始为 S = { a 1 , a 2 , . . . , a n } S=\{a_1,a_2,...,a_n\} S={ a1​,a2​,...,an​}。
​ $2$. 第 $i$ 轮操作有一个参数 $b_i$，当前轮的操作者有以下两个选择：保留 $S$ 中所有是 $b_i$ 倍数的数字，或者保留 $S$ 中所有不是 $b_i$ 倍数的数字。
​ $3$. 进行了 $m$ 轮操作后两人获得的权值是 $S$ 中的数字之和，$S$ 可以为空。

​ $\text{Alice}$ 希望权值最小， $\text{Bob}$ 希望权值最大，假设他们都足够聪明，那么游戏最终的权值是多少。

【输入格式】

​ 第一行两个整数 $n,m$，表示集合大小和操作轮数。

​ 第二行 $n$ 个整数 $a_i$，表示初始集合。

​ 第三行 $m$ 个整数 $b_i$，为第 $i$ 轮的参数。

【输出格式】

​ 输出一个数表示博弈的结果。

【样例输入1】

10 3
13 -6 -9 -8 11 5 -4 -9 -4  -7
2 3 3

【样例输出1】

-6

【样例2】

​ 见选手目录下的下发文件中。

【数据范围及约定】

​ 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 2\times 10^4,1\le m\le 2\times 10^5,-4\times 10^{14}\le a_i\le 4\times 10^{14},$ $1\le b_i\le 4\times 10^{14}$。

子任务编号	$m\le$	特殊性质	分值
$1$	$1$		$10$
$2$	$2\times 10^5$	$\forall i<m,b_i=b_{i+1}$	$10$
$3$	$2\times 10^5$	$\forall i<m,b_{i+1}mod{b}_i=0$	$15$
$4$	$7$		$10$
$5$	$20$		$15$
$6$	$100$		$15$
$7$	$2\times 10^5$	$mmod2=0,\forall i\le \frac{m}{2},b_{2i-1}=b_{2i}$	$15$
$8$	$2\times 10^5$		$10$

连通块（connect）

【问题描述】

​ 小 $\text{X}$ 有一张 $n$ 个节点的图，每个节点有一个点权。但让 小 $\text{X}$ 感到生气的是，这张图上并没有任何的边，于是他决定钦点一些边。

​ 小 $\text{X}$ 喜欢 $gcd$ 和合数，所以 小 $\text{X}$ 的钦点规则与 $gcd$（最大公约数）和合数有关。具体来说，对于 $2$ 个点，如果它们点权的 $gcd$ 为合数，那么 小 $\text{X}$ 就会钦点它们之间连一条边。

​ 小 $\text{Y}$ 看到了 小 $\text{X}$ 稚的行为，决定把他批判一番。他知道 小 $\text{X}$ 热衷于连通块，因此他会删掉图中的一个点来使得剩余图中最大的连通块最小。

​ 即将参加 $\text{NOIP2023}$ 的你对这个问题很感兴趣，于是你想知道，在 小 $\text{Y}$ 操作之后，图中剩余的最大连通块的大小是多少。

【输入格式】

​ 本题有多组数据。

​ 第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。接下来依次描述各组数据，对于每组数据：

​ 第一行 $1$ 个正整数 $n$，表示节点的个数。

​ 第二行 $n$ 个用空格隔开的正整数，依次描述了 $1$ 号节点到 $n$ 号节点的点权 $a_1...a_n$。

【输出格式】

​ 对于每组数据，输出一行一个整数，表示答案。

【样例输入1】

3
5
8 4 12 18 9
5
36 20 84 45 231
7
100 200 300 400 500 600 700

【样例输出1】

2
3
6

【样例2】

​ 见下发文件中。

【数据范围及约定】

​ 对于 $16\%$ 的数据，保证 $n\le 300$，其中 $8\%$ 的数据保证 $a_i\le 2,000$；

​ 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n\le 5,000$，其中 $20\%$ 的数据保证 $a_i\le 30,000$；

​ 对于 $100\%$ 的数据，保证 $n\le 10^5，a_i\le 10^7$，其中 $52\%$ 的数据保证 $a_i\le 10^5$；

​ 对于 $100\%$ 的数据，保证 $T\le 10，n\ge 2，a_i\ge 2$。

公交路线（route）

【问题描述】

​ A 城是一座新兴城市，城里开设了 $n$ 座工厂，分属 $k$ 家单位（有的单位可能没有工厂），其中第 $i$ 座工厂属于第 $c_i$ 家单位。

​ 目前，A城的城内有 $n-1$ 条道路，每条道路的两端是不同的工厂。如果将工厂视作图的点，道路视作图的边，那么这张图是树。

​ 现在A城决定开通该城的前两条公交线路。目前已经决定了：

​ $\bullet$ 每条公交线路将连接两座不同的工厂，且两座工厂属于同一单位。

​ $\bullet$ 每条公交线路在现有道路上行驶，且往返的路线是一致的。

​ $\bullet$ 一条公交线路不会重复经过同一座工厂，两条线路也不会经过同一座工厂。

​ 我们认为：仅仅将某条公交线路的上行、下行方向互换，得到的是本质相同的线路；将两条公交线路互换，得到的也是本质相同的一组方案。

​ 在公交线路的运行过程中，有可能某座工厂由于临时施工，不适合作为公交线路的首末站。不过两座工厂不会同时临时施工。

​ 现在，A城学生算法竞赛协会悬赏 $100$ 分，请你对于平时和 $m$ 次工厂临时施工的情况，分别求出开通公交线路的方案数。

【输入格式】

​ 第一行三个正整数 $n,m,k$。

​ 第二行 $n$ 个数 $c_i$ 表示工厂所属的单位。

​ 接下来 $n-1$ 行每行两个数 $a_i,b_i$, 表示有一条道路连接第 $a_i,b_i$ 座工厂。

​ 接下来 $m$ 行每行一个数 $k_i$，表示第 $i$ 次是第 $q_i$ 座工厂临时施工。

【输出格式】

​ 第一行表示平时情况的方案数。

​ 接下来 $m$ 行分别表示各次询问情况下的方案数。

【样例输入1】

6 6 2
2 1 2 1 2 2
1 2
1 3
2 4
2 5
2 6
1
2
3
4
5
6

【样例输出1】

2
0
1
0
1
1
1

【样例2】

​ 见下发文件中。

【数据范围及约定】

​ 对于所有数据，$m\le n\le 10^5,c_i\le k\le n$。

测试点编号	$n\le$	数据性质
$1,2$	$50$	无
$3$	$10^3$	$k=1$
$4$	$10^4$	$k=1$
$5$	$10^4$	$k=1,m\le 10$
$6$	$10^3$	$m=1$
$7,8$	$10^4$	$m=1$
$9,10$	$10^4$	$k=2,m\le 10$
$11,12$	$10^5$	$k=2$
$13,14$	$10^4$	$c_{q_i}$ 互不相同
$15,16$	$10^5$	$c_{q_i}$ 互不相同
$17,18,19,20$	$10^5$	无