PAT 乙级 1030 完美数列

这里写图片描述

分析题目，解题需要如下步骤

分割数列（这里的分割时任意分割没有必要连续）
找出分割的数列的两个最值
判断是否符合题目条件
若符合条件则和当前已经记录的最大的符合条件的数列的长度比较，若大于已经记录的长度则更新最大长度。
若还有未判断过的数列则重复第一步，反之结束。

很明显，解题需要用到类似穷举的方法。但是PAT判分是有时间限制的，又遇到了如下问题：

如何快速地计算出数列的长度
如何快速地寻找到最大值和最小值

不解决这两个问题是无法得到满分的。所以我们可以先对数列进行排序（本文以升序排列为例），这样两个最值就是两端，长度则可以通过下标直接计算。
之后的过程如图（图中的例子是PAT的样例）：
这里写图片描述

定义两个指针（非C语言指针，能够指示位置即可，本文中为下标）left=0，right。
right=n-1（n为所有数字的个数）。
判断A[right]<=p×A[left]是否成立，若成立则更新Max=Length(A[left···right]所限定的子列长度Length)，跳转到第六步。
right–；
判断当前A[left···right]所限定的子列长度Length>Max是否成立，若成立，则转到第三步。
left++，right=n-1；
判断当前A[left···right]所限定的子列长度Length是否大于Max，若大于，则跳转到第三步，反之则结束算法，输出结果。

伪代码如下：

Perfect series()
{
    input N and p;
    input array A;
    //进行升序排序
    sort(A);
    Max=0;
    for(left=0;left<n;left++)
    {
        //如果本次循环开始时被分割的数列长度就小于Max，则直接结束循环。
        if(n-1-left+1<=Max)
            break;
        for(right=n-1;right-left+1>Max;right--)
        {
            if(A[right]<=A[left]*p;
            {
                //若符合条件则直接更新Max并跳出内层循环，因为随着right的减小，当前数列的长度也在减少。
                max=right-left+1;
                break;
            }
        }
    }
    print(Max);
}

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    unsigned int n, p;
    unsigned int max = 0;
    scanf("%u%u", &n, &p);
    if (n == 0)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    unsigned int* q = new unsigned int[n];

    for (unsigned int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%u", &q[i]);

    sort(q, q + n);;
    unsigned int left = 0, right = 0;
    for (left = 0; left < n; left++)
    {
        if (n - 1 - left + 1 > max)
            break;
        for (right = n - 1; right - left + 1 > max; right--)
        {
            if (q[right] <= p * q[left])
            {
                max = right - left + 1;
                break;
            }
        }
    }
    printf("%d", max);
    system("pause");
}

可是直接提交到PAT上判分发现第四个测试点超时了，想了半天没想到什么办法，就试着修改了一下代码，之前的代码是right指针从右边开始向左边移动，这次从left+Max的位置向右移动，代码如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    unsigned int n, p;
    unsigned int max = 0;
    scanf("%u%u", &n, &p);
    if (n == 0)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    unsigned int* q = new unsigned int[n];

    for (unsigned int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%u", &q[i]);

    sort(q, q + n);;
    unsigned int left = 0, right = 0;
    for (left = 0; left < n; left++)
    {
        if(n-1-left+1<=max)
            break;
        for (right=left+max;right<n;right++)
        {
            if (q[right] <= p * q[left])
            {
                max = right - left + 1;
            }
            else
                break;
        }
    }
    printf("%d", max);
    system("pause");
}

这次就满分了，难道是第二个代码更快？

两种代码时间复杂度分析：

第一种：right指针从最右边开始，若没有遇到符合条件的就向左移动，若符合条件则直接直接结束内层循环（因为若right继续移动只会让数列的长度变得更短，而我们要求最长的数列长度）。若A[left···right]所限定的子列长度小于Max的也结束内层循环。平均情况下，right指针可能移动到任何位置，所以算法的时间复杂度为O(n^2)。
第二种：right指针从left+Max开始，若遇到一个不符合条件的则结束循环（具体为何可以参考第一种方法的说明）。平均情况下right也可能移动到任何位置，所以算法的时间复杂度同样也是O(n^2)。
综上所述，我觉得可能是PAT测试用例正好用第二种方法比较快，因为二者的时间复杂度相同，实际上平均情况下时间复杂度的常系数也是一样的。如果大家发现了其他原因还请留言一下，我们讨论一下。

PAT 乙级 1030 完美数列

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