高数保研复习

可导一定连续，但是连续不一定可导。

一元函数可导和可微等价。

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处左右导数存在且相等是函数 $y=f(x)$ 可导的充分必要条件。

多元函数偏导数在该点连续才可微，若可微分则必然偏导数存在。

必要条件：偏导数存在

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在， 且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y.$$

充分条件：偏导数在该点处连续

如果函数 $z=f(x,y)$ 在的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么该函数在点 $(x,y)$ 可微分。

雅可比式：由偏导数组成的函数行列式，主要用途在于多重积分时候的换元处理，计算隐函数的导数。

$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$$

曲线积分与曲面积分

设 $\Sigma$ 是有向曲面，在 $\Sigma$ 上取一小块曲面 $\Delta S$，把 $\Delta S$ 投影到 $xOy$ 面上得到一投影区域，这投影区域的面积记为 $(\Delta \sigma {)}_{xy}$，假定 $\Sigma$ 上各点法向量与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 的余弦 $\cos \gamma$ 有着相同的符号，则

$$(\Delta S{)}_{xy}=\{\begin{array}{cc}(\Delta \sigma {)}_{xy},& \cos \gamma >0\\ -(\Delta \sigma {)}_{xy},& \cos \gamma <0\\ 0,& \cos \gamma \equiv 0\end{array}$$

函数 $R(x,y,z)$ 在向有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $x$、$y$ 的曲面积分，记作 ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，即

$${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}R\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right){\left(\Delta S_i\right)}_{xy}$$

格林公式：平面闭区域 $D$ 上的二重积分可以通过沿 $D$ 的边界 $L$ 上的曲线积分来表示。本质上是旋度定理在二维平面上的结果。

高斯公式 ：空间闭区域上的三重积分可用 $\Omega$ 边界上的曲面积分表示，本质上就是散度定理。

散度的定义为：$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{f}={\nabla }^T\vec{f}& =\left[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]\left[\begin{array}{l}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right]\\ & =\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}\end{array}$$

$${\int }_{\partial V}\vec{f}\cdot d\vec{S}={\int }_V\nabla \cdot \vec{f}dV$$

斯托克斯公式：平面闭区域上的曲面积分可用边界曲线上的曲线积分来表示。

$$\begin{array}{l}\nabla \times \mathbf{F}(x,y,z)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathbf{i}}& \hat{\mathbf{j}}& \hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|\\ =\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{k}}\end{array}$$

$${\iint }_{\Sigma }\nabla \times \mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Sigma }={\oint }_{\partial \Sigma }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},$$

无穷级数

比较审敛法：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 为正项级数，如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(0⩽l<+\infty )，$$

${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛；若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。

比值审敛法：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 为正项级数，如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho ,$$

那么当 $\rho <1$ 时级数收敛，$\rho >1$ 时级数发散， $\rho =1$ 时可能收敛也可能发散。

根值审敛法：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 正项级数，如果 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho ,$

那么当 $\rho <1$ 时级数收敛，$\rho >1$ 时级数发散， $\rho =1$ 时可能收敛也可能发散。

一、函数与极限

1.2 数列的极限

收敛数列的有界性：如果数列 { x n } \{x_n\} { xn​} 收敛，那么 { x n } \{x_n\} { xn​} 一定有界

但是注意如果数列 { x n } \{x_n\} { xn​} 有界，那么无法 { x n } \{x_n\} { xn​} 一定收敛，比如数列 $(-1{)}^n$

但是正项数列因为单调有界数列必有极限的原则，正项数数列和收敛和有界是完全等价的。

1.3 函数的极限

自变量趋向于有限值时函数的极限

设函数在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，对于任意的正数 $\epsilon >0$，总存在正数 $\delta >0$，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，
$$|f(x)-A|<\epsilon$$则为该函数 $f(x)\to x_0$ 的极限。

自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义如果存在常数 $A$ ， 对于任意的正数 $\epsilon >0$，不论它多么小，总存在着正数$X$, 使得当 $x$ 满足不等式 $|x|>X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式$$|f(x)-A|<\epsilon$$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限

函数的连续性

定义设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义， 如果

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right]=0,$$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。定理的另一种表达方式为$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f\left(x_0\right),$$

我们可以观察到，和极限存在的区别是，连续要求的是点 $x_0$ 的领域，而极限存在则要求的是去心邻域。

一致连续

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正数 $\delta >0$，使得对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$、$x_2$，当 $\left|x_1-x_2\right|<\delta$，有$$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\epsilon \text{, }$$

那么称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续．

一致连续性表示，不论在区间 $I$ 的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度．反例非常简单，在 $(0,1]$ 上，$f(x)=\frac{1}{x}$ 不是一致连续的

连续是一个静点一个动点，因此只关乎静止的那个点处的连续性；一致连续是两个动点，因此关乎整个区间上的连续性。

1.6 两个重要极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

1.10 闭区间上连续函数的性质

函数的间断点

一句话概括，那就是第一类间断点的左右极限都存在，问题在于左右极限相不相等。

拐点：经过某个点使函数凹凸性发生变化

$$\{\begin{array}{l}(a,b)\text{ 内, }{\mathrm{f}}^{\prime \prime }(x)>0,\text{ 凹: 斜率递增 }\\ (a,b)\text{ 内, }{\mathrm{f}}^{\prime \prime }(x)<0,\text{ 凸: 斜率递减 }\end{array}$$

五、定积分

定积分存在的充分条件

书上是这样说的：我们不在此作深入的探讨，而只给出以下两个充分条件。实际上我们常用的定积分存在的充分条件有三个：

1. 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积分
2. 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积分
3. 设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积分

定积分存在的必要条件

定积分存在，则函数必定有界。

多元函数

多元函数的极值

必要条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0,y_0)$ 处有极值， 则有

$$f_x\left(x_0,y_0\right)=0,f_y\left(x_0,y_0\right)=0.$$

充分条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x\left(x_0,y_0\right)=0,f_y\left(x_0,y_0\right)=0$，令

$$f_{xx}\left(x_0,y_0\right)=A,f_{xy}\left(x_0,y_0\right)=B,f_{yy}\left(x_0,y_0\right)=C,$$

则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：

1. $AC-B^2>0$ 时具有极值， 且当 $A<0$ 时有极大值，当 $A>0$ 时有极小值；
2. $AC-B^2<0$ 时没有极值；
3. $AC-B^2=0$ 时可能有极值， 也可能没有极值， 还需另作讨论．