谱域图卷积
一 图谱卷积的背景知识
经典卷积神经网络已在多个领域取得成功
- 图片分类
- 视觉语义问答
- 图片分割
- 目标检测
- 看图说话
- 视频处理
但是 经典卷积网络的局限性：无法处理图结构数据
经典卷积网络的局限：无法处理图结构数据
- 经典卷积网络处理图结构数据的局限性
- 只能处理固定输入维度的数据
- 局部输入数据必须有序
- 语音、图像、视频（规则结构）满足以上两点要求，但并不适用于图结构数据（非欧空间数据）
谱域图卷积 - 根据图谱理论和卷积定理，将数据由空域转换到谱域做处理
- 有较为坚实的理论基础
1.1 谱域图卷积实现思路
什么是卷积
根据卷积定理，两信号在空域（或者时域）的卷积的傅里叶变换等于这两信号在频域中的傅里叶变换的乘积。
卷积操作的意义：
- 将空域信号转换到频域，然后相乘
- 将相乘的结果在转换到空域
如何定义图上的傅里叶变换
基于图谱理论，图傅里叶变换
1.2 拉普拉斯矩阵
拉普拉斯矩阵的定义 – 符号设置
拉普拉斯矩阵的定义：度矩阵减邻接矩阵
拉普拉斯矩阵是对称半正定矩阵
作为对称半正定矩阵，拉普拉斯矩阵有如下性质：
- n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量
- 对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，这些正交的特征向量构成的矩阵为正交矩阵
- 实对称矩阵的特征向量一定是实向量
- 半正定矩阵的特征值一定非负
拉普拉斯矩阵的谱分解
特征分解又成谱分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法
n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量（对称矩阵性质）。n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成他的一组基。（矩阵论知识）
拉普拉斯矩阵的n个特征向量都是线性无关的，他们是n维空间中的一组基。
对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，这些正交的特征向量构成的矩阵为正交矩阵（对称矩阵的性质）
拉普拉斯矩阵的n个特征向量是n维空间中的一组标准正交基
结论：拉普拉斯矩阵是图上的一种拉普拉斯算子。
在欧式空间中，二维的拉普拉斯算子可以理解为中心节点与周围节点的差值，然后求和。
类似的在图上的拉普拉斯算子可以定义如下
结论：拉普拉斯矩阵是图上的一种拉普拉斯算子
1.3 图傅里叶变换
图上的信号一般表达为一个向量。假设有n个节点，图上的节点记为：
每个节点上有一个信号值，类似于图像上的像素值。i节点上的值为x（i）= xi
傅里叶变换公式：一个是连续的，一个是离散的
傅里叶变换中不同频率的余弦函数可视为基函数，其傅里叶系数表示基的振幅。
傅里叶反变换的本质是：把任意一个函数表示成了若干个正交基函数的线性组合
傅里叶正变换的本质是：求线性组合的系数，具体做法是由原函数和基函数的共轭的内积求得。
傅里叶变换，实际上使用拉普拉斯矩阵的特征向量，作为图傅里叶变换的基函数，任意图上的信号可以表示为：
为什么使用拉普拉斯的特征向量作为基
经典傅里叶变换有如下规律：傅里叶变换的基函数是拉普拉斯算子的本征函数
又因为拉普拉斯矩阵就是图上的拉普拉斯算子，所以，类似的，图傅里叶变换的基函数即为图拉普拉斯矩阵的特征向量
1.4 卷积定理
将两信号分别视为输入信号和卷积核，那么卷积操作可以定义为：
- 将空域信号转换到频域，然后相乘
- 将相乘的结果在转换到空域
二 三个经典图谱卷积模型
SCNN
ChebNet
GCN
