【JZOJ5573】子序列

Description

Solution

考虑现在已经找到字典序第$i$小的子序列，设它为$Sab$（$S$为前面的序列），它的两种扩展为：
1. $Sac$（$c$为所在原序列位置在$a$之后第一个大于或等于$b$的数）
2. $Sabd$（$d$为位置在$b$之后最小的数）
如果对于这些序列设置一个比较函数，那么就是经典问题：将字典序最小的序列从堆中提出来，加入它的两个扩展到堆中。
我们发现序列长度较长不能保存，但其实子序列之间有很多前缀关系，我们可以使用一棵trie，通过trie上的节点来表示这些子序列。至于两个子序列的比较，可以通过它们的$lca$往下一个儿子的大小关系来比较。
堆或优先队列复杂度$O(log_2n)$，子序列比较$O(log_2n)$，所以总复杂度是$O(klog_2^2n)$的。
但这个方法常数较大，且不易实现。

于是我们不机械的把所有可能的子序列都丢进堆里，靠比较来得出序列，我们可以直接构造。

设答案（即最终序列集）为$[1,k]$，对于一段哈希值相同的序列集区间$[l,r]$，它一定是由同样$[l',r'](r'<l)$中的序列（区间中哈希值相同）直接构造出来的。
考虑对于一段序列集$[l,r]$，如何构造字典序最小且刚好能接在已有的序列集后。
设$pos_x$表示$x$这个序列的结尾在原序列的位置。
枚举$pos_l$后严格第$i$大的数字num，找到$pos_l$后所有等于$num$的数字，每一个都尝试接在$[l,r]$后面，就会得到一个新的$[l',r']$，且保证结尾位置递增。这样显然是符合字典序的。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],tot=0;
struct tree{
    int l,r,x,p;
}tr[N*20];
int rt[N],nx[N],mx=0;
int wz[N];
int n,K,seed,mo;
void insert(int &v,int l,int r,int x){
    tr[++tot]=tr[v],v=tot;
    if(l==r) {tr[v].p=x,tr[v].x++;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    a[x]<=mid?insert(tr[v].l,l,mid,x):insert(tr[v].r,mid+1,r,x);
    tr[v].x=tr[tr[v].l].x+tr[tr[v].r].x;
}
int find(int v,int l,int r,int x){
    if(x>tr[v].x) return 0;
    if(l==r) return tr[v].p;
    int mid=(l+r)>>1;
    return tr[tr[v].l].x<x?find(tr[v].r,mid+1,r,x-tr[tr[v].l].x):find(tr[v].l,l,mid,x);
}
struct node{
    int p;
    ll hs;
}b[N];
int tt=0;
void dfs(int l,int r){
    int o=b[l].p;
    fo(i,1,tr[rt[o+1]].x){
        int p=find(rt[o+1],1,mx,i),nw=tt,ww=0;
        for(int j=p;j;j=nx[j]){
            ww++;
            fo(k,l,r)
            if(j>b[k].p){
                b[++tt].p=j,b[tt].hs=(b[k].hs*seed+a[j])%mo;
                if(tt==K){
                    fo(ch,1,K) printf("%lld\n",b[ch].hs);
                    exit(0);
                }
            }
        }
        dfs(nw+1,tt),i+=ww-1;
    }
}
int main()
{
    freopen("sequence.in","r",stdin);
    freopen("sequence.out","w",stdout);
    scanf("%d %d %d %d",&n,&K,&seed,&mo);
    fo(i,1,n){
        scanf("%d",&a[i]),mx=max(mx,a[i]);
        nx[wz[a[i]]]=i,wz[a[i]]=i;
    }
    nx[0]=0;
    fd(i,n,1)
    rt[i]=rt[i+1],insert(rt[i],1,mx,i);
    dfs(0,0);
}